Thầy Trần Nam Dũng có nói với tôi là đang chuẩn bị luyện thi dự tuyển Olympic và hỏi tôi xem có các đề bài nào hay không chia sẻ cho các em học sinh. Thú thật là trong suốt mấy chục năm qua, tôi không hề dạy “luyện thi olympic” bao giờ, mà chỉ dạy các cua , mỗi cua là một lý thuyết toán học nào đó thôi, mà các cua đó đem cho HSG luyện thì chắc là “không kịp tiêu hóa” bây giờ, nên cũng không biết mấy bài thi HSG hay cho các bạn. Tất nhiên, tôi có thể tra các tài liệu tiếng nước ngoài ra vô số bài, nhưng việc này thì các giáo viên, và có khi bản thân các bạn học sinh, cũng làm được, không cần đến tôi. Nhưng dù sao, tôi cũng thử đưa ra một bài toán này, trước khi kể một vài câu chuyện liên quan thi olympic.

Bài toán như sau. ta sẽ xét các phép biến đổi tuyến tính của $Z^2$ (tức là lưới nguyên 2 chiều, tức là cập các cặp số nguyên $(a,b)$)

Một phép biến đổi tuyến tính tức là một ánh xạ
$P: Z^2 -> Z^2$
sao cho $P(a+a’, b+b’) = P(a,b) + P(a’,b’)$
với mọi $a,a’,b,b’$

Ta sẽ xét các biến đổi tuyến tính “đơn giản”, theo nghĩa chúng thỏa mãn tính chất sau:
tồn tại hai vector $(a,b), (c,d)$ thuộc $Z^2$ sao cho $ad-bc = 1$
(tức là 2 vector đấy sinh ra $Z^2$ và tạo thành một cơ sở theo chiều dương trong $Z^2$) sao cho

$P(a,b) = (a,b)$
$P(c,d) = (a,b) + (c,d)$

(Cứ có mỗi cơ sở của $Z^2$ thì viết được 1 biến đổi tuyến tính như vậy)

1) Các phép biến đổi tuyến tính nào của $Z^2$ có thể viết được dưới dạng tích hợp (composition) của các phép biến đổi “đơn giản” theo nghĩa trên ?

2) Giả sử $P1, …, Pn$ là các phép biến đổi đơn giản như trên, sao cho composition của chúng $P1. P2. … Pn$ là identity. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $12$

(Câu 1 chỉ là để kiểm tra xem các bạn có hiểu khái niệm biến đổi tuyến tính không, câu 2 mới là câu hỏi thực sự thú vị của bài)

Bài toán trên hay ở chỗ nó kết hợp cả đại số (biến đổi tuyến tính) lẫn số học (chia hết cho $12$).

Tôi chú thích luôn là bài toán trên không “từ trên trời rơi xuống”, mà nó xuất phát từ một vấn đề hình học khá là hiện đại (hình học đại số) gọi là elliptic fibrations, và các “mặt” mang tên K3. Ý của tôi là, khi đi thi olympic, các bạn cũng có thể gặp phải tình huống tương tự: đề bài đối với các bạn thì có thể có vẻ như từ trên trời rơi xuống, nhưng đối với người ra đề, thì nó lại là một ví dụ xuất hiện từ một lý thuyết toán hiện đại nào đó mà người đó có quan tâm, sau khi đã được “sơ cấp hóa”, che dấu toàn bộ phần “toán hiện đại” đi. Tất nhiên, lời giải cũng sơ cấp thôi, thì mới đem ra làm bài thi được.

Bây giờ nói về chuyện (học) thi olympic.

Tôi có một ông bạn đồng nghiệp khá thân, là GS Alan Weinstein ở ĐH California at Berkeley, hầu như năm nào tôi cũng gặp một hai lần. Năm ngoái mừng SN 70 tuổi của Alan tôi cũng dự và làm báo cáo, và thậm chí còn hát bài “Sinh Nhật Cá Sấu” (bài hát tiếng Nga rất nổi tiếng về buổi sinh nhật của một chú cá sấu, có dịch cả ra tiếng Việt: vui biết bao mừng ngày sinh củ mỗi chúng ta …”) bằng tiếng Nga cũng với 1 bạn Nga cho ông ấy. Ông Weinstein là một trong các cha đẻ của một ngành toán hiện đại gọi là “hình học symplectic” mà ai học lên cao có thể sẽ biết đến. Có lần, ông đi nói chuyện với học sinh ở Brazil. Chủ đề của bài nói chuyện là: “Bạn có thể trở thành nhà toán học thậm chí nếu bạn thất bại hoàn toàn khi đi thi olympic”. Đây là điều hoàn toàn đúng, vì trong số các nhà toán học chuyên nghiệp thành đạt, chỉ có một phần nhỏ là hồi bé thi olympic đạt kết quả cao.

Nếu bạn học sinh nào liên hệ với tôi để tìm lời khuyên, tôi cũng bảo vậy: hãy coi chuyện thi olympic là cho vui, đạt kết quả thì càng mừng, nhưng không đạt thì cũng chẳng sao, vẫn hoàn toàn có thể trở thành những nhà khoa học giỏi hay thành công trong các lĩnh vực khác nếu học “bài bản”.

Tất nhiên, để đạt giải cao thì cần luyện thi, tạo ra kỹ năng giải quyết nhanh một số dạng bài toán sơ cấp nào đó. Có những nước đạt điểm thi IMO kém hơn VN (kể cả Pháp, Đức, …) không phải vì họ hiểu biết kém hơn, mà chẳng qua vì họ coi IMO như một trò chơi vui không mấy quan trọng, ít quan tâm đến chuyện luyện thi. Cũng như là vận động viên olympic cử tạ thì cần luyện cử tạ. Có điều, cử tạ cũng như là làm nhanh toán sơ cấp là những kỹ năng ít dùng trong thực tế (trừ khi đi thi), trừ việc thể lực tốt hay tư duy nhanh nói chung thì có lợi. Bởi vậy, theo một nghĩa nào đó, việc học “chỉ để thi olympic” là một thứ xa xỉ phẩm, nhưng là một thứ xa xỉ phẩm chấp nhận được nếu có chừng mực, và cũng không phải là hoàn toàn phí phạm, vì nó cũng rèn cho tư duy nhanh nhẹn lên.

Đối với các học sinh rất giỏi, theo tôi cách học hiệu quả nhất không phải là dành phần lớn thời gian học theo kiểu luyện thi olympic (dù rằng sẽ tham gia thi olympic), mà là dành phần lớn thời gian tìm hiểu các kiến thức và ý tưởng của khoa học hiện đại. Khi đã nắm được các kiến thức, ý tưởng đó, thì nhìn lại các vấn đề “sơ cấp”, dù là “mẹo mực”, cũng sẽ thấy vấn đề sáng sủa lên nhiều, dễ thiết lập được phương hướng giải quyết hơn. Chỉ dành một phần nhỏ thời gian cho “luyện thi” thôi. Việc chia thời gian như vậy sẽ hiệu quả hơn.

Cách trên cũng chính là cách tôi luyện thi cho con trai tôi thi vào trường Ecole Normale Supérieure và Ecole Polytechnique ở Pháp mấy nãm trước. Thời gian đầu, con tôi học ở lớp (chuẩn bị thi) điểm không cao lắm, làm vợ tôi rất sốt ruột, bảo tôi sao không rèn cho con tôi làm các bài thi cho điểm cao lên. Tôi thì cứ “bình chân như vại”, dạy cho con tôi thậm chí cả những thứ sẽ không có trong kỳ thi. Nhưng qua các bài dạy đó, con tôi nắm được cái nhìn tổng thể hơn về toán học, các ý tưởng chính, qui tắc chính, cách suy nghĩ tiếp cận các vấn đề. Và thế là các bài thì trở nên dễ dần lên. Rồi đến lức gần đi thi thì từ học sinh chỉ đứng thứ giữa lớp đã thành học sinh đứng đầu lớp, và đi thi đạt kết quả rất tốt.

Ở trên trang Sputnik, thỉnh thoảng tôi có viết về các “dịnh luật của toán học” cũng nhằm giới thiệu cho các bạn các ý tưởng chung đó của toán học, mà có thể áp dụng được vào rất nhiều các vấn đề khác nhau, trong đó có thể cả các vấn đề mà bạn sẽ gặp trong kỳ thi olympic, đến những vấn đề sẽ gặp về sau.

Tự nhiên tôi nhớ lại, hồi đi thi chọn đội tuyển olympic toán của VN năm 1985, có bài như sau:

Cho hàm số thực $f$ từ $R$ và $R$ sao cho $f(f(x)) = -x$. Chứng minh rằng $f$ có vô số điểm không liên tục.

Bài đó năm 1985 có một mình tôi làm được, làm cho thầy ra đề bài một phen … hú vía (ra đề bài mà không học sinh nào làm được thì cũng không tốt, vì không đánh giá được học sinh qua đề đó). Tôi làm được bài đó, không phải vì là đã “luyện thi” những bài như vậy, mà là vì tôi đã học được một cách trực giác (qua việc quan sát khi làm một số bài khác) cái mà người ta gọi là “nhóm tác động”. Cũng may, bản thân tôi hồi còn là học sinh, tuy là rất “say sưa” đi thi học sinh giỏi, nhưng đọc các sách toán vì ham mê chứ không phải là để đi thi, nên vớ được cả một số quyển toán học hiện đại để đọc và cả những thứ hiện đại trong tạp chí Kvant thời đó, nên có lợi thế nhất định so với các bạn cùng đi thi những năm đó.

Các bạn thi olympic năm nay thử giải lại bài toán trên của năm 1985 xem sao ?

Hồi tôi là học sinh, thì có một người bạn rất thân tên là Huỳnh Minh Vũ. Tôi và Vũ hay học cùng với nhau, chia sẻ mọi thứ (và cũng sẽ cùng đi thi). Có bạn thân để chia sẻ là rất quan trọng — quan trọng không kém gì có được một người thầy tốt.

Có một kinh nghiệm nhỏ khác: càng bình tĩnh sảng khoái kết quả thi HSG sẽ càng tốt. Có nhiều học sinh lúc đi thi rất căng thẳng, mất ăn mất ngủ trước khi thi. Vào phòng thi đã mệt sẵn rồi, thì kết quả sẽ bị ảnh hưởng rất nhiều. Kinh nghiệm của tôi khi đi thi là “coi nhẹ tựa lông hồng”. Học là học cả năm rồi, mấy tiếng trước khi thi có học thêm cũng chẳng thay đổi gì. Hôm trước khi thi hãy chủ yếu ăn no ngủ kỹ để lấy tinh thần

[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]