Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    31
    Cám ơn (Đã nhận)
    14


    Sửa lần cuối bởi Viet_1846; 19/08/14 lúc 09:38 PM.

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    26
    Bài viết
    25
    Cám ơn (Đã nhận)
    35
    Nhận thấy $(1,1,3)$ là một nghiệm của phương trình.
    Không mất tính tổng quát ta có thể xét $x\ge y\ge 2$, dẫn đến $z> 3$. Dễ dàng thấy $z$ là số lẻ nên $z=2k+1,k\ge 2$. Khi đó
    $4^{x-1}+4^{y-1}=k(k+1)$
    hay $4^{y-1}\left(4^{x-y}+1\right)=k(k+1)$ (1).
    Nếu $x=y$ thì (1) trở thành $2^{2y-1}=k(k+1)$. Vì $y\ge 2$ nên $2^{2y-1}$ là hợp số, mà $k,k+1$ phải có một số lẻ nên không thể tồn tại $y$ trong trường hợp này.
    Với $x>y$. Ta có $\left(4^{y-1},4^{x-y}+1\right)=1(2)$ và $(k,k+1)=1$. Từ (1) ta có $4^{y-1}|k(k+1)$ nên $4^{y-1}|k$ hoặc $4^{y-1}|k+1$.
    Xét $4^{y-1}|k$, tương tự ta thu được $k|4^{y-1}\left(4^{x-y}+1\right)$. Nếu $k|4^{x-y}+1$ thì mẫu thuẫn với (2). Do đó $k|4^{y-1}$, suy ra $k=4^{y-1}$. Thay vào (1) ta tìm được $x=2y-1$. Từ đó tìm được $z=2^{2y-1}+1$. Kiểm tra lại thấy thỏa phương trình.
    Trường hợp $4^{y-1}|k+1$ làm tương tự.
    Vậy nghiệm của phương trình là $x=2k-1,y=k,z=2^{2k-1}+1$ với mọi số nguyên dương $k$.
    Nothing Is Impossible.

  4. Cám ơn tinilam, cudinh, thanh phong đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này