Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 7 của 7
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118


    Giải hệ phương trình sau:

    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x - 1}+\sqrt{2}\left ( \sqrt{y - 1} + \sqrt{x + y - 3} \right ) = - 2(x + y - xy) + 2 + 2(x + y - 3)(x + 2y - 3) & \\ \sqrt{x^2 - 6x + 10 } + \sqrt{2}\sqrt{8y^2 - 12y + 9} = \sqrt{x^2 + 4(4y^2 - 2xy + 4)}& \end{matrix}\right.$

    Mọi người cùng thảo luận nhé!
    Sửa lần cuối bởi cuong18041998; 12/09/14 lúc 08:31 PM.
    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  2. Cám ơn tinilam, Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi cuong18041998 Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau:

    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x - 1}+\sqrt{2}\left ( \sqrt{y - 1} + \sqrt{x + y - 3} \right ) = - 2(x + y - xy) + 2 + 2(x + y - 3)(x + 2y - 3) & \\ \sqrt{x^2 + 6x + 10 } + \sqrt{2}\sqrt{8y^2 - 12y + 9} = \sqrt{x^2 + 4(4y^2 - 2xy + 4)}& \end{matrix}\right.$

    Mọi người cùng thảo luận nhé!
    Đk $ x,y\ge1 $. Pt cuối
    \begin{eqnarray}
    \sqrt{(x+3)^2+1}+\sqrt{(4y-3)^2+3^2}=\sqrt{(x-4y)^2+4^2}
    \end{eqnarray}
    Ta có
    \begin{align*}
    VT(1)&\ge\sqrt{(x+3+4y-3)^2+(1+3)^2}\\
    &=\sqrt{(x+4y)^2+4^2}\\
    &> \sqrt{(x-4y)^2+4^2}.
    \end{align*}
    Pt (1) vô nghiệm.

    P/s: Chắc tác giả ghi nhầm dấu.

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Tích Cực cuong18041998's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    Đk $ x,y\ge1 $. Pt cuối
    \begin{eqnarray}
    \sqrt{(x+3)^2+1}+\sqrt{(4y-3)^2+3^2}=\sqrt{(x-4y)^2+4^2}
    \end{eqnarray}
    Ta có
    \begin{align*}
    VT(1)&\ge\sqrt{(x+3+4y-3)^2+(1+3)^2}\\
    &=\sqrt{(x+4y)^2+4^2}\\
    &> \sqrt{(x-4y)^2+4^2}.
    \end{align*}
    Pt (1) vô nghiệm.

    P/s: Chắc tác giả ghi nhầm dấu.
    E sửa rồi đó anh, có chút sai sót!
    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    142
    Cám ơn (Đã nhận)
    150
    Nếu vậy bài này dùng phương pháp vectơ rồi

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành Viên Tích Cực cuong18041998's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118
    Trích dẫn Gửi bởi huyén71 Xem bài viết
    Nếu vậy bài này dùng phương pháp vectơ rồi
    Vẫn còn là vấn đề ở PT đầu!
    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  10. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi cuong18041998 Xem bài viết
    Vẫn còn là vấn đề ở PT đầu!
    Điều kiện để có đẳng thức ở pt cuối là $ \frac{3-x}{4y-3}=\frac 13\iff y=3-\frac 34x $.

    Xem pt đầu
    \begin{eqnarray}
    \sqrt{x+1}+\sqrt{2}\sqrt{y-1}+\sqrt{2}\sqrt{x+y-3}=2x^2+4y^2+8xy-14x-20y+20
    \end{eqnarray}
    Ta có các đánh giá
    \[ \begin{cases}
    \sqrt{x+1}\le \frac 12x\\
    \sqrt{2}\sqrt{y-1}=2\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{y-1}\right ) \le y-\frac12\\
    \sqrt{2}\sqrt{x+y-3}=2\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{x+y-3}\right ) \le x+y-\frac52\\
    \end{cases} \]
    Do đó
    \begin{eqnarray}
    VP(1)\le \frac12x+y-\frac12+x+y-\frac52
    \end{eqnarray}
    Thay $ y=3-\frac{3}{4}x $ vào (2) thu được $ 5(x-2)^2\le 0\iff x=2 $. Nghiệm hệ $ x=2,y=\frac32 $.

  12. Cám ơn tinilam, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    Thành Viên Tích Cực cuong18041998's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    86
    Cám ơn (Đã nhận)
    118
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    Điều kiện để có đẳng thức ở pt cuối là $ \frac{3-x}{4y-3}=\frac 13\iff y=3-\frac 34x $.

    Xem pt đầu
    \begin{eqnarray}
    \sqrt{x+1}+\sqrt{2}\sqrt{y-1}+\sqrt{2}\sqrt{x+y-3}=2x^2+4y^2+8xy-14x-20y+20
    \end{eqnarray}
    Ta có các đánh giá
    \[ \begin{cases}
    \sqrt{x+1}\le \frac 12x\\
    \sqrt{2}\sqrt{y-1}=2\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{y-1}\right ) \le y-\frac12\\
    \sqrt{2}\sqrt{x+y-3}=2\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{x+y-3}\right ) \le x+y-\frac52\\
    \end{cases} \]
    Do đó
    \begin{eqnarray}
    VP(1)\le \frac12x+y-\frac12+x+y-\frac52
    \end{eqnarray}
    Thay $ y=3-\frac{3}{4}x $ vào (2) thu được $ 5(x-2)^2\le 0\iff x=2 $. Nghiệm hệ $ x=2,y=\frac32 $.
    Ý tưởng gốc đây:
    Sau khi khai thác PT (2) ta suy ra:
    $(x - 1) + (2y - 2) + (2x + 2y - 6) = 3$
    $(3)$

    Và PT $(1)$ tương đương:
    $\sqrt{x - 1} + \sqrt{2y - 2} + \sqrt{2y + 2x - 6} = (x - 1)(2y - 2) + (2y - 2)(2x + 2y - 6) + (2x + 2y - 6)(x - 1)$

    Đến đây đặt
    $x - 1 = a, 2y - 2 = b, 2x + 2y - 6 = c$ và kết hợp $(1)$ và $(3)$ ta được hệ mới:
    $\left\{\begin{matrix} a + b + c = 3 & \\ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = ab + bc + ca& \end{matrix}\right.$

    Đây là câu BĐT của Russia MO rất quen thuộc

    P/s: Chú ý những chỗ màu đỏ nhé anh, chắc anh nhầm!
    ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
    My Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100007173767872

  14. Cám ơn Tran Le Quyen, huyén71 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này