Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141

  2. Cám ơn khotam, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Popeye's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Ngày sinh
    10-12-1994
    Bài viết
    72
    Cám ơn (Đã nhận)
    96
    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Bài 1: Cho $a \ge 5,\,\,a+b \ge 9,\,\,a + b + c = 11\,\,(a,b,c \in R)$

    Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 45$
    Giả sử $a\ge b\ge c$. Vì $f(x)=x^2$ là hàm lồi nên theo BĐT Karamata ta có
    $$f(a)+f(b)+f(c)\ge f(5)+f(4)+f(2)=45$$
    IF YOU'RE GOOD AT SOMETHING, NEVER DO IT FOR FREE

  4. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi Popeye Xem bài viết
    Giả sử $a\ge b\ge c$. Vì $f(x)=x^2$ là hàm lồi nên theo BĐT Karamata ta có
    $$f(a)+f(b)+f(c)\ge f(5)+f(4)+f(2)=45$$
    Tại sao lại bài này lại " có thể " giả sử được là $ \displaystyle a \ge b \ge c $ ?

    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Bài 1: Cho $a \ge 5,\,\,a+b \ge 9,\,\,a + b + c = 11\,\,(a,b,c \in R)$

    Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 45$
    Dùng bất đẳng thức $ \displaystyle x^2+y^2 \ge 2xy \ ; \ \forall x,y \in \mathbb{R} $ có
    $$ \left( a^2 + 25 \right) + \left( b^2+16 \right) + \left( c^2+4 \right) \ge 10 a+8b+4c = 4 \left( a+b+c \right) + 4 \left( a+b \right) + 2a \ge 90 $$
    Như vậy
    $$ a^2+b^2+c^2 \ge 45 $$

    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết

    Bài 2: $a \ge b \ge c > 0,\,\,a \le 5,\,\,a+b \le 9,\,\,a + b + c = 11\,\,(a,b,c \in R)$

    Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 45$
    Ta thấy
    $$ a^2+b^2+c^2 = a \left( a-b \right) + \left( a+b \right) \left( b-c \right) + c \left( a+b+c \right) \le 5 \left( a-b \right) + 9 \left( b-c \right) + 11c $$

    $$ 5 \left( a-b \right) + 9 \left( b-c \right) + 11c = 2\left( a+b+c \right) + 2 \left( a+b \right) + a \le 45 $$
    Vậy nên
    $$ a^2+b^2+c^2 \le 45 $$

  6. Cám ơn Tran Le Quyen, khotam, trantruongsinh_dienbien, tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Bài 1: Cho $a \ge 5,\,\,a+b \ge 9,\,\,a + b + c = 11\,\,(a,b,c \in R)$

    Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 45$
    Cách nữa:
    $M = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {(11 - a - b)^2}$

    $ \Rightarrow M = {(a - 5)^2} + {(b - 4)^2} + {(a + b - 9)^2} + 6a + 4b - 1$

    $ \Rightarrow M = {(a - 5)^2} + {(b - 4)^2} + {(a + b - 9)^2} + 4(a + b) + 2a - 1$

    $ \Rightarrow M \ge 4(a + b) + 2a - 1 \ge 4.9 + 2.5 - 1 = 45 \Rightarrow M \ge 45$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Bài 1: Cho $a \ge 5,\,\,a+b \ge 9,\,\,a + b + c = 11\,\,(a,b,c \in R)$

    Chứng minh: $M={a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 45$
    Thêm cách nữa:
    Ta có: ${(a - 5)^2} + {(b - 4)^2} + {(c - 2)^2} \ge 0 \Rightarrow M + 45 \ge 4(a + b + c) + 4(a + b) + 2a$

    $ \Rightarrow M + 45 \ge 4.11 + 4.9 + 2.5 \Rightarrow M \ge 45$ Xong

  8. Cám ơn tinilam, lequangnhat20, Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này