Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109


    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ không âm và $abc\neq 0$ thỏa: $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11\left ( ab+bc+ca \right )$. Chứng minh rằng:
    $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$
    Không mất tính tổng quát bài toán chuẩn hóa $a+b+c=5$ lúc đó ta có $ab+bc+ca=7$ .Muốn tìm điều kiện tồn tại nghiệm ta xét phương trình:
    $$(x-a)(x-b)(x-c)=0\leftrightarrow f(x):=abc=x^3-5x^2+7x$$
    $$f'(x):=3x^2-10x+7$$
    $$f'(x):=0\leftrightarrow \left [ \begin{aligned}& x=1; \ \ f(1)=3 \\& x=\dfrac{7}{3}; \ \ f\left(\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{49}{27} \end{aligned}\right.$$
    Do đó để phương trình có nghiệm thì $\dfrac{49}{27}\le abc\le 3$
    Còn cách khác chận $abc$ nhanh hơn nhưng không phổ thông lắm
    Quay lại bài toán ta biến đổi biểu thức lại như sau:
    $$\displaystyle\sum_{cyclic}\frac{a}{b+c}= \dfrac{(a+b+c)^3-2(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}$$
    $$=\dfrac{55+3abc}{35-abc}$$
    Nhưng ở đây biểu thức tăng theo biến $abc$ nên ta có:
    $$\dfrac{51}{28}=\frac{55+3\dfrac{49}{27}}{35-\dfrac{49}{27}} \le \dfrac{55+3abc}{35-abc} \le \frac{55+3.3}{35-3} =2$$
    Phép chứng minh hoàn tất.

  4. Cám ơn tinilam, lequangnhat20, thuanlqd, Tran Le Quyen, Viet_1846, caoominhh đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ không âm và $abc\neq 0$ thỏa: $7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11\left ( ab+bc+ca \right )$. Chứng minh rằng:
    $\frac{51}{28}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq 2$
    Dễ thấy $ \displaystyle a,b,c >0 $ và từ giả thiết $ \displaystyle 7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=11\left ( ab+bc+ca \right )$ có
    $$ 7 \left[ \left( \frac{5a}{a+b+c} \right)^2 + \left( \frac{5b}{a+b+c} \right)^2 + \left( \frac{5c}{a+b+c} \right)^2 \right] \\
    = 11 \left[ \left( \frac{5a}{a+b+c} \right)\left( \frac{5b}{a+b+c} \right) + \left( \frac{5b}{a+b+c} \right)\left( \frac{5c}{a+b+c} \right) + \left( \frac{5c}{a+b+c} \right)\left( \frac{5a}{a+b+c} \right) \right] $$
    Đặt $ \displaystyle x = \frac{5a}{a+b+c} > 0 \ , \ y = \frac{5b}{a+b+c} > 0 \ , \ z = \frac{5c}{a+b+c} > 0 $.

    Ta thấy $ \displaystyle x+y+z = 5 $ , từ $ \displaystyle 7 \left( x^2+y^2+z^2 \right) = 11 \left( xy+yz+zx \right) $ , suy ra được
    $$ xy+yz+zx=7 $$
    Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành
    $$ \frac{51}{28} \le \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \le 2 \quad{(1)} $$
    Ta sẽ đi chứng minh $ \displaystyle (1) $.

    Nhận thấy $ \displaystyle x+y =5- z > 0 \ , \ xy = 7 - z \left( x+y \right) = z^2-5 z + 7 > 0 $.

    Từ bất đẳng thức quen biết $ \left( x+y \right)^2 \ge 4xy $ , kết hợp với $ \displaystyle 5 > z > 0 $ suy ra
    $$ 3 \ge z \ge \frac{1}{3} $$
    Đặt
    $$ P = \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} = \frac{x}{5-x}+\frac{y}{5-y}+\frac{z}{x+y} = \frac{11+5z-2z^2}{7+z^2} + \frac{z}{5-z}$$

    $$ P - \frac{51}{28} = \frac{5 \left( 3z -1 \right) \left( 3z-7 \right)^2}{28 \left( 7+z^2 \right) \left( 5-z \right)} \ge 0 $$
    $$ 2- P = \frac{5 \left( 3-z \right) \left( z-1\right)^2}{ \left( 7+z^2 \right) \left( 5-z \right)} \ge 0 $$
    Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ đúng . Từ đó dẫn đến bất đẳng thức đề bài được chứng minh .

  6. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này