Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 7 của 7
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    99


    CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014
    THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI

    Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :
    $$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$
    Xét dãy $(y_n)$ như sau :
    $$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$
    Tính $\lim y_n$.

    Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
    $$p^{q+1}+q^{p+1}$$
    là một số chính phương.

    Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
    $$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

    Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.
    1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.
    2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.

    Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết
    [B][CENTER]CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014
    THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI

    Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$
    Giả sử tập $A$ có hơn 2 phần tử là $a<b<c$ khi đó $a+c, b+c\in B$ hay $\dfrac{b+c}{a+c}\in A$ là một số tự nhiên, nhưng điều này là không thể vì $1<\dfrac{b+c}{a+c}<2$. Vây $A$ có tối đa 2 phần tử, từ đây suy ra $B$ cũng có tối đa $3$ phần tử. Từ đây suy ra $\max |A\cup B|=5$ ví dụ $A=\{2,4\}$, $B=\{6,12,24\}$.

  3. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Bài 1: Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :
    $$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$
    Xét dãy $(y_n)$ như sau :
    $$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$
    Tính $\lim y_n$.
    Ta có :$$\frac{1}{x_{n}+2}=\frac{1}{x_{n}+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$
    Tới đây thì dễ rồi
    Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
    $$p^{q+1}+q^{p+1}$$
    là một số chính phương.
    Xét tính chẵn, lẻ của $p, q$ để giải, chỉ hơi rắc rối ở phần 1 lẻ, 1 chẵn
    Bài 3: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
    $$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$
    Cho $y=0 \Rightarrow f$ đơn ánh
    Cho $y=-x \Rightarrow f$ toàn ánh
    $\Rightarrow f$ song ánh
    Thay $y=0$ ta được $f(f(x))=2x-f(x)$(1), với mọi $x \in R$
    $\Rightarrow f(f(x))+2f(x)=f(x)+2x$ (*), với mọi $x \in R$
    Đặt $g(x)=f(x)+2x$,với mọi $x \in R$
    $(*) \Rightarrow g(f(x))=g(x)$, với mọi $x \in R$
    Lại có $f$ song ánh nên suy ra $g(x)=a$
    Suy ra $f(x)=-2x+a$
    Thay lại (1) ta được $a=3x$
    Suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \in R$
    HOA VÔ KHUYẾT

  5. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết




    $(*) \Rightarrow g(f(x))=g(x)$, với mọi $x \in R$
    Lại có $f$ song ánh nên suy ra $g(x)=a$
    Bạn xem lại đoạn này! Từ đây không thể suy ra $g(x)$ như thế được.

  6. Cám ơn Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  7. #5
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi xuankhoa Xem bài viết
    Bạn xem lại đoạn này! Từ đây không thể suy ra $g(x)$ như thế được.
    Ủa, sao lại không được nhỉ, ta có:
    $g(x)=g(f(x))=g(f(f(x)))=g(f(f(f(x))))=...=g(f(f(. ....(f(x))))) $với mọi $x \in R$ và $f$ song ánh
    Suy ra $g(x)=a$
    HOA VÔ KHUYẾT

  8. #6
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Ủa, sao lại không được nhỉ, ta có:
    $g(x)=g(f(x))=g(f(f(x)))=g(f(f(f(x))))=...=g(f(f(. ....(f(x))))) $với mọi $x \in R$ và $f$ song ánh
    Suy ra $g(x)=a$
    Bạn thử lấy $f(x)\equiv x$ thì $g(x)$ như thế nào nhé!
    Nếu lấy $f(x)\equiv 2x $ thì $g(x)$ như thế nào!
    Nếu lấy $f(x)=x^3$ thì $g(x)$ như thế nào?

  9. Cám ơn Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  10. #7
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi xuankhoa Xem bài viết
    Bạn thử lấy $f(x)\equiv x$ thì $g(x)$ như thế nào nhé!
    Nếu lấy $f(x)\equiv 2x $ thì $g(x)$ như thế nào!
    Nếu lấy $f(x)=x^3$ thì $g(x)$ như thế nào?
    OK, thanks bạn nhiều, có lẽ mình quá bất cẩn
    HOA VÔ KHUYẾT

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này