Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 11
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} = y + 2\\
    {y^2} = z + 2\\
    {z^2} = x + 2
    \end{array} \right.$$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    11
    Cám ơn (Đã nhận)
    13
    Thầy cho đáp án đi! Bài này em dùng đánh giá mà không được

  3. #3
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919
    Trích dẫn Gửi bởi gacon Xem bài viết
    Thầy cho đáp án đi! Bài này em dùng đánh giá mà không được
    Gợi ý: Lượng giác hóa

  4. Cám ơn gacon đã cám ơn bài viết này
  5. #4
    Thành Viên Chính Thức Duy Hoài's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Gợi ý: Lượng giác hóa
    Ý thầy Hào là đặt $x=2\cos t$ ạ?

  6. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  7. #5
    Moderator Popeye's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Ngày sinh
    10-12-1994
    Bài viết
    72
    Cám ơn (Đã nhận)
    95
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán:Giải hệ phương trình

    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} = y + 2\\
    {y^2} = z + 2\\
    {z^2} = x + 2
    \end{array} \right.$$
    Từ điều kiện dễ thấy $x,y,z\ge -2$
    Cộng lại ta có $$x^2+y^2+z^2=x+y+z+6\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}\iff -3\le x+y+z\le 6$$
    Nếu giả sử $x\ge 2$ thì từ (3) và đk có $z\ge 2$ và $y\ge 2$. Điều đó là vô lý
    Vậy $x,y,z\in [-2;2]$
    Đặt $x=2\cos t$ thì từ (1) có $y=2\cos 2t$. Từ (2) có $z=2\cos 4t$. Từ (3) có $x=2\cos 8t$ Tức là $\cos t=\cos 8t$
    IF YOU'RE GOOD AT SOMETHING, NEVER DO IT FOR FREE

  8. Cám ơn chihao, gacon đã cám ơn bài viết này
  9. #6
    Thành Viên Chính Thức Duy Hoài's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    Trích dẫn Gửi bởi Popeye Xem bài viết
    Từ điều kiện dễ thấy $x,y,z\ge -2$
    Cộng lại ta có $$x^2+y^2+z^2=x+y+z+6\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}\iff -3\le x+y+z\le 6$$
    Nếu giả sử $x\ge 2$ thì từ (3) và đk có $z\ge 2$ và $y\ge 2$. Điều đó là vô lý
    Vậy $x,y,z\in [-2;2]$
    Đặt $x=2\cos t$ thì từ (1) có $y=2\cos 2t$. Từ (2) có $z=2\cos 4t$. Từ (3) có $x=2\cos 8t$ Tức là $\cos t=\cos 8t$
    Còn có thể giải như sau.

    Giả sử $t$ là nghiệm phức của phương trình $t^2-xt+1=0$. Ta thấy $t\ne 0$ và\[x = t + \frac{1}{t};\,\,y = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}};\,\,z = {t^4} + \frac{1}{{{t^4}}}\,\,\]Từ đó dẫn đến phương trình\[t + \frac{1}{t} = {t^8} + \frac{1}{{{t^8}}}\,\, \Leftrightarrow \left( {{t^9} - 1} \right)\left( {{t^7} - 1} \right) = 0\]

  10. #7
    Ban quản trị chihao's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919
    Bài toán tương tự

    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^3} = 3x + y\\
    {y^3} = 3y + z\\
    {z^3} = 3z + x
    \end{array} \right.$$



  11. Cám ơn gacon đã cám ơn bài viết này
  12. #8
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Mấu chốt bài toán là hệ có tối đa $27$ nghiệm!

  13. #9
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Trích dẫn Gửi bởi Duy Hoài Xem bài viết
    $$ \left( {{t^9} - 1} \right)\left( {{t^7} - 1} \right) = 0$$
    Phương trình này có tối đa bao nhiêu nghiệm khi $t\in\mathbb{C}$? Giải tiếp đi bạn

  14. Cám ơn gacon đã cám ơn bài viết này
  15. #10
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán tương tự

    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^3} = 3x + y\\
    {y^3} = 3y + z\\
    {z^3} = 3z + x
    \end{array} \right.$$
    Hướng dẫn:
    Cộng vế theo vế: $(x^3-4x)+(y^3-4y)+(z^3-4z)=0$ (*)
    Xét hàm số $f(t)=t^3-3t$, ta có: $f'(t)=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$
    + Nếu $t<-2$ thì $f'(t)>0$. Do đó: $f(t)<f(-2)= -2\quad (a)$
    + Nếu $t>2$ thì $f'(t)>0$. Do đó: $f(t)>f(2)=2\quad (b)$
    Nếu $x<-2$ thì từ $(a)\Rightarrow y<-2 \Rightarrow z<-2$. Do đó:
    $$(x^3-4x)+(y^3-4y)+(z^3-4z)<0\quad \textrm{mâu thuẫn với (*)}$$
    Nếu $x>2$ thì từ $(a)\Rightarrow y>2 \Rightarrow z>2$. Do đó:
    $$(x^3-4x)+(y^3-4y)+(z^3-4z)>0\quad \textrm{mâu thuẫn với (*)}$$
    Nếu $-2\le x\le 2$ thì ta đặt $x=2\cos{t}$
    Chú ý: $4\cos^3{a}-3\cos{a}=\cos{3a}$

  16. Cám ơn gacon, tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này