Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    102


    Thi ngày 10/9

    Vòng 1 (buổi sáng)



    Vòng 2 (buổi chiều)




    Phiên Bản Latex

    Vòng 1

    Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.

    Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
    $$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$

    Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$

    Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ ($E$ là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.

    Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{ xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$

    Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng 1 và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau $1$ đơn vị?

    Vòng 2

    Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\ sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\(x+y)(\dfrac{1 }{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$

    Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2}$, và $$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
    Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.

    Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau $$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

    Dấu "=" xảy ra khi nào?

    Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.

    Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
    a) $a=3,b=12$.
    b) $a=1,b=2$.
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 20/09/14 lúc 10:12 PM. Lý do: sửa hình

  2. Cám ơn cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Câu 3 - Vòng 2.

    Ta thấy
    $$ 3 \left( x^2-x+1 \right) \left( y^2-y+1 \right) -2 \left( x^2y^2 -xy+1 \right) = \\
    \left( y^2-3y+3 \right) \left[ \left( x+\frac{5y-3y^2-3}{2y^2-6y+6} \right)^2 +\frac{3 \left( y^2-3y+1 \right)^2}{ 4 \left( y^2-3y+3 \right)^2} \right] \ge 0 $$
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
    $$ \left( x,y \right) = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) \ ; \ \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right) $$

  4. Cám ơn tinilam, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Câu 4 - vòng 1: Dễ dàng có $f(1)=1$. Từ phương trình cho $y=1$, khi đó ta có
    $$\frac{f(x)+1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}. $$
    Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Tới đây ta chỉ cần chỉ ra không có hàm số $f$ nào có $f(a)=a$ và $f(b)=\dfrac{1}{b}$ là xong. Thử lại thấy cả hai hàm trên đều thỏa mãn.

  6. #4
    Thành Viên Chuyên Nghiệp tinilam's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    BoxMath
    Tuổi
    30
    Bài viết
    338
    Cám ơn (Đã nhận)
    547
    cập nhập hình đề thi rõ và đầy đủ hơn

  7. #5
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Câu 5- Vòng 2:
    Câu a thì dùng tính chất là các số mới xuất hiện luôn chia hết cho $3$ (vì $a,b$ đều chia hết cho $3$), mà $2014$ không chia hết cho $3$ nên số $2014$ không xuất hiện trên bảng.
    Câu b: Số $2014$ có thể xuất hiện trên bảng và sau thời gian ít nhất là $17$s.

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này