Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    99


    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 12 THPT
    Thời gian: 180P, môn: Toán.

    Câu 1: Giải hệ phương trình:

    $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$


    Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:

    $x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\frac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.

    a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
    b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\frac{1}{2013n+2015} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim y_n$

    Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.


    Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
    i, $a_1<a_2<...<a_n=m$
    ii, Tất cả $n-1$ số $\frac{a_1^2+a_2^2}{2}, \frac{a_2^2+a_3^2}{2},...,\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương.

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Cậu có đề của Quảng trị năm nay không ạ !
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  4. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết nightfury's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    99
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Cậu có đề của Quảng trị năm nay không ạ !
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

  5. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết
    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 12 THPT
    Thời gian: 180P, môn: Toán.


    Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
    i, $a_1<a_2<...<a_n=m$
    ii, Tất cả $n-1$ số $\frac{a_1^2+a_2^2}{2}, \frac{a_2^2+a_3^2}{2},...,\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương.
    Bài này có thể giải bằng phương pháp quy nạp.
    Khi $n=2$ thì dễ dàng kiểm tra số $m=7$ là số nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán. Giả sử bài toán đúng khi với $n$, khi đó $a_n=2n^2-1$. Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh bài toán sau:
    Chứng minh rằng số tự nhiên $x$ nhỏ nhất lớn hơn $2n^2-1$ thỏa mãn $\dfrac{(2n^2-1)^2+x^2}{2}$ là số chính phương là số $2(n+1)^2-1$.

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #5
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Bài 1 Giải hệ phương trình:

    $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
    Ta có hệ tương đương với:
    $\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2+x=x+y\\ 3y^3+2y^2+y=y+z\\ 3z^3+2z^2+z=z+x \end{matrix}\right.$
    Tới đây thì dễ rồi, để ý: $f(a)=3a^3+2a^2+a$ đồng biến trên R


    Bài 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:

    $x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\frac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.

    a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
    b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\frac{1}{2013n+2015} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim y_n$
    Câu a: để ý $f(x)=\frac{2014+x}{2016-x}$ đồng biến
    Câu b: Ta có:
    $x_{n}-2014=\frac{2014+x_{n-1}}{2016-x_{n-1}}-2014=\frac{2015(x_{n-1}-2014)}{2016-x_{n-1}}$
    Suy ra: $\frac{1}{x_{n}-2014}=\frac{2016-x_{n-1}}{2015(x_{n-1}-2014)}=\frac{2}{2015}.\frac{1}{(x_{n-1}-2014)}-\frac{1}{2015}$
    Suy ra:
    $y_{n}=\frac{1}{2013n+2015}( \frac{1}{x_{1}-2014}-\frac{n-1}{2015}+\frac{2}{2015}(y_{n}-\frac{1}{x_{n}-2014}) )$
    Lại có $limx_{n}=1$ và $x_{1}=\frac{1}{2}$
    Tới đây tính được $lim y_{n}$
    HOA VÔ KHUYẾT

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này