1) Cho $\Delta ABC$ nhọn có các đường cao $AA_1; BB_1; CC_1$. Chứng minh rằng:

a) $A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1=a.cosA+b.cosB+c.cosC$

b) $R=2R_1$ ($R;R_1$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC;\Delta A_1B_1C_1$)

2) Cho 2 đường tròn $(O,R)$ và $(O,r)$, $M\in(O,R)$, $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,r)$.

Chứng minh: Nếu $\Delta ABC$ đều thì $MA^{4}+MB^{4}+MC^{4}=3(R^{4}+r^{4}+4R^{2}r^{2})$

3) Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H$ , $BK$ là đường cao, $AB=AC=a, \widehat{ABC}=\alpha$.

Tính bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABK$

4) Cho $\Delta ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A',B',C'$. Chứng minh:

a) $B'C'=(b+c-a).sin\frac{A}{2}$

b) $\frac{B'C'}{BC}+\frac{A'C'}{AC}=2(sin\frac{A}{2}+ sin\frac{B}{2})sin\frac{C}{2}$

5) Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2R$. Điểm $M$ chạy trên nửa đường tròn, $\widehat{BAM}=\alpha$. Tiếp tuyến tại M cắt AB tại N. Tính các cạnh của $\Delta AMN$ theo$R,\alpha$