Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    60


    Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2-xy+y^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y-\dfrac{2xy}{\sqrt{(x+1)(y+1)}}$.

  2. Cám ơn khotam, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi phamtuankhai Xem bài viết
    Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2-xy+y^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y-\dfrac{2xy}{\sqrt{(x+1)(y+1)}}$.
    • Ta có $x^2-xy+y^2=1\Rightarrow \begin{cases} 0<xy\leq 1 \\ x+y=\sqrt{1+3xy}\end{cases}$


    • Theo bất đẳng thức bunhia ta có đánh giá sau $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$


    • Vậy khi đó $P\geq \sqrt{1+3xy}-\dfrac{2xy}{1+\sqrt{xy}}$


    • Đặt $t=\sqrt{xy}\Rightarrow 0<t\leq 1$
    • Khảo sát hàm số $f(t)=\sqrt{1+3t}-\dfrac{2t^2}{1+t} \forall o<t\leq 1$

  4. Cám ơn tinilam, phamtuankhai đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    • Ta có $x^2-xy+y^2=1\Rightarrow \begin{cases} 0<xy\leq 1 \\ x+y=\sqrt{1+3xy}\end{cases}$


    • Theo bất đẳng thức bunhia ta có đánh giá sau $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$


    • Vậy khi đó $P\geq \sqrt{1+3xy}-\dfrac{2xy}{1+\sqrt{xy}}$


    • Đặt $t=\sqrt{xy}\Rightarrow 0<t\leq 1$
    • Khảo sát hàm số $f(t)=\sqrt{1+3t}-\dfrac{2t^2}{1+t} \forall o<t\leq 1$
    ăn nhau cái đạo hàm
    f'(t) vẫn > 0

  6. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Boxmath bị sao vậy? Mình gõ toàn bị lỗi
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

  7. Cám ơn khotam, cuong18041998, Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Thành Viên Chuyên Nghiệp tinilam's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    BoxMath
    Tuổi
    30
    Bài viết
    338
    Cám ơn (Đã nhận)
    547
    không có lỗi. em xem lại

    - Khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow P = 1$
    - Khi $y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow P = 1$
    - Xét $x,y > 0$, ta có:
    \[\begin{array}{l}
    {x^2} + {y^2} - xy = 1\\
    \Leftrightarrow x + y + {x^2} + {y^2} = (x + 1)(y + 1)\\
    \Leftrightarrow x(x + 1) + y(y + 1) = (x + 1)(y + 1)\\
    \Leftrightarrow \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = 1
    \end{array}\]
    $\begin{array}{l}
    P = (x + y)\left( {\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}} \right) - \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} }} = \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}} + \frac{{xy}}{{y + 1}} + \frac{{xy}}{{x + 1}}\\
    - \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} }} \ge \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}} = \frac{{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy) + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}}\\
    = \frac{{x + y + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}} = 1
    \end{array}$
    Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ và $y=1$ hoặc $x=1$ và $y=0$ hoặc $x=y=1$

  9. Cám ơn khotam, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Đúng là mình cẩu thả rồi.

  11. #7
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi tinilam Xem bài viết
    không có lỗi. em xem lại

    - Khi $x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow P = 1$
    - Khi $y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow P = 1$
    - Xét $x,y > 0$, ta có:
    \[\begin{array}{l}
    {x^2} + {y^2} - xy = 1\\
    \Leftrightarrow x + y + {x^2} + {y^2} = (x + 1)(y + 1)\\
    \Leftrightarrow x(x + 1) + y(y + 1) = (x + 1)(y + 1)\\
    \Leftrightarrow \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = 1
    \end{array}\]
    $\begin{array}{l}
    P = (x + y)\left( {\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}} \right) - \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} }} = \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}} + \frac{{xy}}{{y + 1}} + \frac{{xy}}{{x + 1}}\\
    - \frac{{2xy}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} }} \ge \frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} + {y^3} + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}} = \frac{{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy) + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}}\\
    = \frac{{x + y + {x^2} + {y^2}}}{{(x + 1)(y + 1)}} = 1
    \end{array}$
    Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ và $y=1$ hoặc $x=1$ và $y=0$ hoặc $x=y=1$
    Em gõ đúng mà... Em past vào diendantoanhoc.net rồi chụp lại đó...

  12. #8
    Thành Viên Chuyên Nghiệp tinilam's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    BoxMath
    Tuổi
    30
    Bài viết
    338
    Cám ơn (Đã nhận)
    547
    Trích dẫn Gửi bởi luvlanhlanh Xem bài viết
    Em gõ đúng mà... Em past vào diendantoanhoc.net rồi chụp lại đó...
    ở đâu cũng dùng MathJax để hiện công thức trên web hết em. chắc lúc em gửi có trục trặc gì đấy, lần sau nếu bị lỗi thử gửi thêm lần nữa chắc được

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này