Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    921


    Bài toán 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}$

    Bài toán 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + d = 1$

    Chứng minh rằng: $6\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{1}{8}$

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    [B][U][COLOR=#0000FF]
    Bài toán 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + d = 1$

    Chứng minh rằng: $6\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{1}{8}$
    Ta có

    \[ a^3\ge \frac12a^2-\frac1{16}a\iff a(4a-1)^2\ge0. \]

    Từ đây suy ra
    \begin{eqnarray}
    6\sum a^3\ge3\sum a^2-\frac3{8}.
    \end{eqnarray}
    Lại có
    \begin{eqnarray}
    2\sum a^2\ge\frac 48
    \end{eqnarray}
    do
    \begin{eqnarray*}
    a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac12(a+b)^2+\frac12(c+d)^2\ge \frac14(a+b+c+d)^2=\frac14.
    \end{eqnarray*}
    Cộng theo vế (1) và (2) có dpcm.

  3. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}$

    Bài toán 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + d = 1$

    Chứng minh rằng: $6\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{1}{8}$
    Bài 1:
    Bình phương biểu thức trên chúng ta được:

    $$P^2:=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+ \dfrac{z^2x^2}{y^2}+2(x^2+y^2+z^2)$$
    Vì chúng ta luôn có $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ nên từ biểu thức $P$ ta thu được:
    $$P^2\ge 3(x^2+y^2+z^2)$$
    Thế giả thiết vào ta có ngay $\min P=5\sqrt{3}$ đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

    Bài 2:

    Chúng ta có đẳng thức $6x^3=x^2+0.625x-0.125 +6(x-0.25)^2\left(x+\dfrac{1}{3}\right)$

    Do đó thay thế lần lượt các biến số vào thì ta được điều phải chứng minh.

  5. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này