Johan Ludwig William Valdemar Jensen, thường gọi là Johan Jensen, (8 tháng 5, 1859 – 5 tháng 3, 1925) là nhà toán học và kĩ sư người Đan Mạch. Ông là chủ tịch Hội Toán học Đan Mạch từ năm 1892 đến 1903.

[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

Jensen sinh ra ở Nakskov, Đan Mạch, nhưng ông trải qua phần lớn cuộc đời thơ ấu của mình ở miền bắc Thụy Điển, vì cha của ông xin được việc làm quản lí cho một vùng đất mới ở đó. Gia đình họ trở về Đan Mạch trước năm 1876, rồi Jensen vào học trường Đại học Công nghệ Copenhagen. Mặc dù ông học toán cùng với nhiều môn học khác ở trường, và còn cho công bố một bài báo toán học nữa, nhưng sau này mới tự học được những chủ đề toán cao cấp và ông chưa hề có được một địa vị nào trong giới hàn lâm cả. Thay vậy, ông là một vị kĩ sư thành công tại Công ti Điện thoại Bell ở Copenhagen từ năm 1881 đến 1924, và trở thành trưởng phòng kĩ thuật vào năm 1890. Toàn bộ những nghiên cứu toán học của ông được thực hiện trong những lúc rảnh rỗi. Jensen được biết tới nhiều nhất với bất đẳng thức nổi tiếng mang tên ông, bất đẳng thức Jensen.


Với mọi hàm lồi $f$ trên $(a,b)$ và mọi $a_1,a_2,...,a_n \in (a,b)$ ta có

$$f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n)\ge nf\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)$$

Với mọi hàm lõm $f$ trên $(a,b)$ và mọi $a_1,a_2,...,a_n \in (a,b)$ ta có

$$f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n) \le nf\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)$$

Lưu ý: $f$ là hàm lồi khi ta có $f'' (x)> 0$ trên $(a;b)$ và là hàm lõm khi ta có $f'' (x)<0$ trên $(a,b)$

Vào năm 1915, Jensen còn chứng minh công thức Jensen trong phân tích phức.

Giả sử $f$ là hàm giải tích trong miền nào đố của mặt phẳng phức chứa tập đóng $D$ có bán kính $r$; $a_1,a_2,...,a_n$ (phân biệt hoặc không) là các không điểm của $f$ ở miền trong của $D$ và $f(0) \neq 0$. Khi đó ta có công thức Jensen:

$$\log |f(0)| = \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{|a_k|}{r}\right) + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\theta})| \, d\theta.$$