[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung] và hàm số lúy thừa là bài quan trọng thuộc chương trình lớp 12. Để học tốt các bạn cần xem kĩ bài sau:
1.1. Định nghĩa: Hàm số $y = {x^\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.
1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ là:
  • $D = \mathbb{R}$ nếu $\alpha $ là số nguyên dương.
  • $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng 0.
  • $D = (0; + \infty )$ với $\alpha $ không nguyên.

1.3. Đạo hàm: Hàm số $y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha \in \mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x > 0$ và $({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}.$
1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng$(0; + \infty )$.
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha > 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
  • $y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.$
  • Giới hạn đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = + \infty .$
  • Tiệm cận: không có

2. Hàm số mũ: $y = {a^x},{\rm{ }}(a > 0,a \ne 1).$
2.1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
2.2.Tập giá trị: $T = (0, + \infty ),$ nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt $t = {a^{f(x)}}$ thì t > 0.
2.3. Tính đơn điệu:
  • Khi a > 1 thì hàm số mũ $y = {a^x}$ đồng biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).$
  • Khi 0 < a < 1 thì [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung] $y = {a^x}$ nghịch biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x).$

2.4. Đạo hàm:
$\begin{array}{l} ({a^x})' = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})' = u'.{a^u}.\ln a\\ ({e^x})' = {e^x} \Rightarrow ({e^u})' = {e^u}.u'\\ (\sqrt[n]{u})' = \frac{{u'}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}} \cdot \end{array}$