[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

Mùa hè năm 1893, tại Chicagô có mở một cuộc triển lãm công nghiệp quốc tế. Ở đây trưng bày rất nhiều thứ thú vị và hấp dẫn. Bất kể ngày hè nóng nực, người xem vẫn tụ tập đông nghịt. Nơi thu hút nhiều người xem nhất là tòa nhà ở đó giới thiệu nhiều máy móc kỳ lạ được đưa về từ nước Nga xa xôi. Đây là chiếc máy “đi bằng chân” có thể bước đi những bước khá thoải mái và chính xác như bốn chân con vật. Còn đây là chiếc ghế bành biết đi, có thể ngồi vào đó và chỉ huy cho nó đi theo một hướng bất kỳ. Chiếc thuyền có máy bơi cũng hơi cũng thu hút sự chú ý của người xem. Một nhà bác học sau khi xem chiếc thuyền đó đã phải thừa nhận: “Tôi rất khoái chiếc thuyền có chân này. Nó có thể đi dưới nước như ngựa vậy!”


Trong triển lãm này còn nhìn thấy bộ điều chỉnh ly tâm rất hoàn mỹ và nhiều máy móc khác. Đặc biệt, toàn thể người xem đều rất kinh ngạc chú ý đến chiếc máy tính (máy kế toán) thực hiện rất nhanh và hoàn toàn chính xác bốn phép tính số học. Người sáng tạo ra những chiếc máy đặc sắc đó là P. L. Chebyshev (Chebyshev), người xứng đáng được mệnh danh là “cha đẻ của lý thuyết hiện đại về các máy móc”.

Chebyshev bị tật một chân. Có lẽ vì thế lúc bé Chebyshevkhông thích những trò chơi ồn ào của bè bạn và thích được ngồi yên tĩnh một mình.


Hồi nhỏ người bạn trung thành của Chebyshev là con dao nhíp và cậu sử dụng nó rất điêu luyện. Chebyshevcó thể ngồi hàng giờ kỳ cục làm lấy những chiếc máy bằng gỗ đủ loại. Chẳng hạn, cậu đã chế tạo chiếc cối xay nước và cối xay gió rất tinh xảo với tất cả các bộ truyền chuyển động.


Lòng ham mê chế tạo và thiết kế Chebyshev còn giữ đến trọ đời. Ngay khi đã thành nhà toán học nổi tiếng, Chebyshev vẫn giành nhiều thời gian cho việc chế tạo những chiếc máy có cấu tạo đặc biệt. Những kiến thức tuyệt mỹ của nhà toán học đã giúp ông kiến trúc những chiếc máy rất phức tạp; và ngược lại, những mô hình do ông chế tạo ra đặt cho ông nhiều bài toàn mà ông và học trò phải tìm cách giải.

Hồi nhỏ Chebyshev học ở nhà; 16 tuổi là sinh viên ban Toán khoa Triết của trường ĐHTH Maxcơva. Vào năm 1841, Chebyshev đã được trao tặng huy chương bạc về tác phẩm “Tính nghiệm các phương trình”. Chebyshev ham mê toán học và cơ học đến mức rất nhiều bài toán đã được giải trên đường đi. Thậm chí, chính ông đã thú nhận, ông suy nghĩ cả khi ngồi trong nhà hát, khi nghe nhạc hoặc khi xem biểu diễn văn công.

Chebyshev tốt nghiệp ĐH vào năm 20 tuổi. Năm 25 tuổi, ông bảo vệ một luận án kỳ diệu “Kinh nghiệm phân tích cơ sở lý thuyết xác suất”, một năm sau ông về dạy ở trường ĐH Pêtécbua. Vào năm 1849, Chebyshev bảo vệ luận án tiến sĩ “Lý thuyết so sánh” bao gồm một trong những chương trình quan trọng nhất của lý thuyết số hiện đại. Vào năm 1853, do những đóng góp to lớn trong lĩnh vực khoa học. Chebyshev được chọn làm tùy viên của Viện hàn lâm khoa học Pêtecbua và đến năm 1859 đã trở thành viện sĩ chính thức.

Vinh dự lớn cho Chebyshev, một nhà bác học vĩ đại về toán là đã được bầu làm viện sĩ danh dự của nhiều viện hàn lâm, trường ĐH và hội toán ở Nga cũng như ở nước ngoài.

Viện sĩ Chebyshev là người sáng lập ra trường phái Toán học Pêtecbua. Đặc điểm nổi bật của trường phái này là dũng cảm, mạnh bạo trong khoa học và liên hệ rất chặt chẽ giữa lý thuyết toán và thực tế. Trường phái đó đã trở nên vinh quang muôn thủa. Những học trò xuất sắc củaChebyshev như A. N. Korlin, E. I. Dôlôtarep, A. A. Máckốp, G. F. Vôrônôi, A. M. Liapunôp, V. A. Xteclôp, A. N Kpưlôp, X. N. Becnơxtanh và nhiều người khác, đã trở thành những nhà bác học lẫy lừng thế giới.

Là ủy viên của Ủy ban Khoa học về Toán học, Chebyshev đã tham gia tích cực vào việc tổ chức giảng dạy toán ở Nga. Công việc đó thể hiện đặc biệt qua sự cố gắng làm cho cách trình bày các sách giáo khoa được chặt chẽ và chính xác hơn, cũng như việc đòi hỏi trình bày đầy đủ nhất trong các giáo trình Toán học sơ cấp.

Chebyshev đã có nhiều phát minh trong lĩnh vực lý thuyết số, đặc biệt là trong việc nghiên cứu phân bố các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên.

Nhà toán học cổ Hy Lạp Ơclit (thế kỷ III trước CN) đã chứng minh một định lý về tính vô hạn của dãy các số nguyên tố, tức là chứng minh rằng không tồn tại trong dãy đó một số nguyên tố lớn nhất. Mệnh đề đó được gọi là “Định lý Ơclit”.

Vấn đề các số nguyên tố phân bố theo quy luật nào trong toàn bộ dãy số tự nhiên, mức độ đều đặn và thường xuyên thế nào, vẫn chưa được trả lời, đã hơn 2000 năm nay, mặc dù nhiều nhà toán học vĩ đại của thế giới kể cả Ơle và Gauxơ đều đã nghiên cứu.

Trước Chebyshev, vấn đề phân bố các số nguyên tố được giải quyết có tính chất thực nghiệm bằng cách quan sát thực tế mà không có cơ sở lập luận nào cả. Chẳng hạn, nhà toán học Pháp Lơgiăngđrơ (1752 - 1833) đã khẳng định rằng trong khoảng một triệu số nguyên đầu tiên, số các số nguyên tố nhỏ hơn $n$ xấp xỉ bằng:

$$\frac{n}{\ln n-1,08366}$$

Hơn nữa, Lơgiăngđrơ đã giả định - không có căn cứ - rằng hệ thức đó đúng cả với những giá trị n lớn hơn 1 triệu. Nhà toán học Pháp Bectơrăng cũng đưa ra một giả thuyết là giữa $n$ và $2n (n>1)$ có ít nhất một số nguyên tố.
Người đặt cơ sở vững chắc cho một lý thuyết chặt chẽ về phân bố các số nguyên tố là Chebyshev. Những khám phá của ông về mặt này là một thành công rực rỡ của tư tưởng Toán học Nga. Bằng những lập luận lôgic chặt chẽ, Chebyshev đã chứng minh rằng công thức chỉ ra ở trên của Lơgiăngđrơ được thiết lập bằng kinh nghiệm trong phạm vi 1 triệu số nguyên đầu tiên là không có cơ sở và không đúng ngoài phạm vi 1 triệu số nguyên đầu tiên. Tiếp theo, Chebyshev đã chứng minh giả thiết Bectơrăng được nêu ở trên và còn đưa ra một giả thiết khác chặt chẽ hơn về luật phân bố của các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên. Hơn nữa Chebyshev đã chứng minh rằng nếu $A(n)$ là hàm số biểu thị số các số nguyên tố nhỏ hơn $n$, thì biểu thức:

$$B(n) = \dfrac{A(n)}{\frac{n}{\ln n}}$$

Với $n \to \infty$ không thể có giới hạn khác 1.

Vào năm 1896, sau khi Chebyshev qua đời, nhà bác học Pháp Ađama và nhà Toán học Bỉ vantơ Putxen sử dụng công cụ lý thuyết hàm số biến phức đã chứng minh (độc lập với nhau) rằng:

$$lim \dfrac{A(n)}{\frac{n}{\ln n}} = 1$$

Vì vậy với $n$ đủ lớn, có thể tính xấp xỉ: $A(n) ~ \frac{n}{\ln n}$

Khó mà đánh giá được những phát minh khoa học của Chebyshev trong lĩnh vực lý thuyết số. Nó đã đem lại vinh quang cho nền khoa học toán của Nga và đã có ảnh hưởng lớn lao đối với những sáng tạo khoa học của nhiều nhà bác học xuất sắc trong và ngoài nước.


Nhưng Chebyshev không chỉ nghiên cứu một lý thuyết số. Ông còn nghiên cứu rất nhiều, chẳng hạn trong lĩnh vực giải tích toán học, ông đã thiết lập một ngành hoàn toàn mới nổi tiếng là “Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất các hàm số bằng các đa thức”. Chebyshev còn có hàng loạt công trình nổi tiếng về lý thuyết xác suất và nhiều môn toán khác.

(Theo sách: "Kể chuyện về những nhà toán học” )

Chebyshev được biết đến nhờ các nghiên cứu của ông trong các lĩnh vực xác suất, thống kê và lý thuyết số.Chebyshev được coi là người sáng lập Toán học Nga. Ông có nhiều học trò nổi tiếng. Đến năm 2010, có 7,483 người kế nghiệp những nghiên cứu của ông.

Tên ông được đặt cho 1 ngọn núi lửa trên Mặt Trăng và tiểu hành tinh 2010 Chebyshev. Do những đóng góp vĩ đại của Chebyshev.

CÁC ĐÓNG GÓP CỦA CHEBYSHEV

1) Bất đẳng thức Chebyshev:
Giả sử $$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$$

và $$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$$

Khi đó: $${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$$

Tương tự, nếu $$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$$

và $$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,$$

thì $${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$$

2) Bất đẳng thức Chebyshev: cho tích phân
Nếu $f$ và $g$ là các hàm khả vi, cùng tăng hoặc cùng giảm trong $[0,1]$, thì $$\int fg \geq \int f \int g.\,$$

Điều này cũng đúng với mọi không gian bất kì, người ta gọi đó là tính đếm được của tích phân( nguyên văn: This can be generalized to integrals over any space, as well as products of countable integrals.)

3) Bất đẳng thức Chebyshev trong xác suất
Nếu $X$ là 1 biến ngẫu nhiên với độ lệch chuẩn $\sigma$ , xác suất của $X$ không nhỏ hơn $a(\sigma)$ nghĩa là không nhỏ hơn $\frac{1}{a^2}$: $$\Pr(|X - {\mathbf E}(X)| \ge a (\sigma )\le \dfrac {1}{a^2}$$

BĐT Chebyshev được dùng để chứng minh luật số lớn yếu.

4) Định lý Bertrand-Chebyshev (1845|1850): với mọi số tự nhiên $n>1$, luôn tồn tại một số nguyên tố $p$ sao cho $n<p<2n$.
Đây là hệ quả của BĐT Chebyshev cho số $\pi(n)$ của số nguyên tố bé hơn $n$, trong đó $\pi(n)$ là bậc của $\frac{n}{\ln(n)}$
Một công thức chặt hơn của BDT trên được nhắc đến trong định lý số nguyên tố nổi tiếng: thương của $n$ và $ln(n)$ dần đến 1 khi $n$ dần đến vô cùng

5) Khoảng cách Chebyshev, mêtric lớn nhất hay $L_\infty$ metric là một metric được xác định trong một không gian vector nơi mà khoảng cách giữa hai vector là lớn nhất so với bất kì hiệu tọa độ thành phần của chúng.
Nó cũng được biết đến như là khoảng cách bàn cờ, từ trò chơi cờ vua, số bước ít nhất cần di chuyển quân vua từ 1 ô của bàn cờ tới 1 ô khác bằng khoảng cách Chebyshev giữa hai tâm của hai ô

Khoảng cách Chebyshev giữa $p$ và $q$, với tọa độ $p_i$ và $q_i$ là: $$d_{(p,q)} := \max_i(|p_i - q_i|)$$

Bằng giới hạn không gian của metric $L_p$ $$\lim_{k \to \infty} \bigg( \sum_{i=1}^n \left| p_i - q_i \right|^k \bigg)^{1/k},$$

do đó cũng là mêtric $L_\infty$

6) Hàm số Chebyshev.
Hàm số Chebyshev 1 là tổng $ln(p)$ với các số nguyên tố $p$ nhỏ hơn hoặc bằng $x$ $$\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \ln p$$

Hàm số Chebyshev 2 là tổng của $log(p)$ với các số nguyên tố $p$ có lũy thừa nhỏ hơn hoặc bằng $x$ $$\psi(x) = \sum_{p^k\le x}\ln p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p\le x}\lfloor\ln_p x\rfloor\ln p,$$

Tron g đó $\Lambda$ là hàm von Mangoldt .

Các hàm số Chebyshev function thường được sử dụng để chứng minh các yếu tố liên quan đến số nguyên tố.

7) Phương trình Chebyshev: là phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

$$(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0$$

Trong đó p là 1 hằng số thực.
Lời giải là một chuỗi lũy thừa

$$y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$

Trong đó các hệ số được xác định bởi $$a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n.$$

Đây là chuỗi hội tụ với x trong $[−1,1]$

8) Đa thức Chebyshev

$$T_0(x) = 1 ;T_1(x) = x;T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).$$

9) Điểm Chebyshev: Trong Giải tích số điểm Chebyshev là nghiệm của đa thức Chebyshev. Chúng thường dùng trong phép nội suy đa thức
Cho số tự nhiên $n$, điểm Chebyshev trong $[1, 1]$ là
$$x_i = \cos\left(\dfrac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$$

Điểm Chebyshev trong $[a,b]$ bất kì: $$\tilde{x}_i = \dfrac{1}{2} (a+b) + \dfrac{1}{2} (b-a) \cos\left(\dfrac{2i-1}{2n}\pi\right).$$

10) Hàm hữu tỉ Chebyshev: là 1 dãy các hàm số hữu tỉ và trực giao

$$R_n(x)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ T_n\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$$

Trong đó $T_n(x)$ là đa thức Chebyshev