Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    25


    Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}= \frac{3}{2}$. CMR:

    $\frac{x+y+z}{2}+2\left ( \frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x} \right )\geq \frac{9}{2}$

  2. Cám ơn tranthanhson1998, kalezim16, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    8
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Trích dẫn Gửi bởi caoominhh Xem bài viết
    Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}= \frac{3}{2}$. CMR:

    $\frac{x+y+z}{2}+2\left ( \frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x} \right )\geq \frac{9}{2}$
    Ta có: \[\begin{array}{l}
    \frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + y}} + \frac{1}{{1 + z}} = \frac{3}{2}\\
    \Rightarrow 3 - \frac{1}{{1 + x}} - \frac{1}{{1 + y}} - \frac{1}{{1 + z}} = \frac{3}{2}\\
    \Rightarrow \frac{x}{{1 + x}} + \frac{y}{{1 + y}} + \frac{z}{{1 + z}} = \frac{3}{2}\\
    \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \ge 3
    \end{array}\]
    Mặt khác:\[\begin{array}{l}
    \frac{{x + y}}{2} \ge \frac{{2xy}}{{x + y}};\frac{{y + z}}{2} \ge \frac{{2yz}}{{y + z}};\frac{{z + x}}{2} \ge \frac{{2zx}}{{z + x}}\\
    \Rightarrow \frac{{x + y + z}}{2} \ge \frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}}
    \end{array}\]
    Như vậy ta chỉ cần chứng minh:\[\frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} \ge \frac{3}{2}\]
    Ta có: \[\begin{array}{l}
    \frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} } \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}}\\
    \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\\
    \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
    \end{array}\]
    Từ đó ta có:\[\frac{{x + y + z}}{2} + 2\left( {\frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}}} \right) \ge 3\left( {\frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}}} \right) \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}\]
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\[x = y = z = 1\]

  4. Cám ơn kalezim16, Tran Le Quyen, cuong18041998, caoominhh, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này