Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89


    Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c =3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}$$

  2. Cám ơn Tran Le Quyen, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Chính Thức Runaway's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Ngày sinh
    12-27-1997
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    $P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})+\sqrt{c}(c-\sqrt{ab})\leq ((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}+c)((a+b-\sqrt{ab})^{2}+(c-\sqrt{ab}))\leq (3+2\sqrt{ab})(a+b-\sqrt{ab}+c-\sqrt{ab})^{2}=(3+2\sqrt{ab})(3-2\sqrt{ab})^{2}=2(6+4\sqrt{ab})(3-2\sqrt{ab})^{2}\leq 2(\frac{6+4\sqrt{ab}+2(3-2\sqrt{ab})}{3})^{3}=32$
    Dấu = xảy ra khi a=b,c=0 và các hoán vị
    Cuộc sống như một chiếc tàu lượn, nó đưa bạn lên xuống tới chóng mặt, nhưng bạn có quyền lựa chọn hoảng sợ la hét hay rèn luyện cho mình gan dạ hơn và tận hưởng chuyến đi trong niềm vui thích

  4. #3
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi Runaway Xem bài viết
    $P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-\sqrt{ab})+\sqrt{c}(c-\sqrt{ab})$
    $\leq ((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}+c)((a+b-\sqrt{ab})^{2}+(c-\sqrt{ab}))$
    $\leq (3+2\sqrt{ab})(a+b-\sqrt{ab}+c-\sqrt{ab})^{2}=(3+2\sqrt{ab})(3-2\sqrt{ab})^{2}=2(6+4\sqrt{ab})(3-2\sqrt{ab})^{2}$
    $\leq 2(\frac{6+4\sqrt{ab}+2(3-2\sqrt{ab})}{3})^{3}=32$
    Dấu = xảy ra khi a=b,c=0 và các hoán vị
    Bạn xem lại nếu $ a=b=\dfrac{3}{2},c=0$ Thi P=32?

  5. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c =3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}$$
    Hướng dẫn:

    Đổi biến $x= \sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$. Giả thiết là $x,y,z$ không âm thỏa $x^2+y^2+z^2=3$.
    Bài toán cần tìm GTLN của $P=x^3+y^3+z^3-xyz$.
    Không giảm tổng quát ta giả sử $z= \min\{x,y,z\}$. Khi đó
    $$P\le \sqrt{x^6+2x^3y^3+y^6}\le \sqrt{x^6+3x^2y^2(x^2+y^2)+y^6}\le \sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}=3\sqrt{3}$$
    Vậy, $\max P=3\sqrt{3}$ vì $P(a,b,c)=P(3,0,0)=3\sqrt{3}$.

  7. Cám ơn  $T_G$, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c =3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}$$
    Nếu như $a,b,c\ge 0$ và $a+b+c=3$ thì ta có:

    $$P_1:=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\le 3\sqrt{3} $$

    Do đó dễ có theo cái đề trên

    $$P_2:=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\le 3\sqrt{3} +\sqrt{abc}$$

    Cũng có thể bài tóan pháp biểu nhầm, ta cũng có

    $$P_3:=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le 2+\sqrt{abc} $$

    Hiển nhiên ta cũng có:


    $$P_4:=b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\le 2+\sqrt{abc} $$

  9. Cám ơn Viet_1846, Lê Đình Mẫn,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Nếu như $a,b,c\ge 0$ và $a+b+c=3$ thì ta có:
    $$P_3:=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le 2+\sqrt{abc} $$
    Hướng dẫn:

    + Giả sử $b$ nằm giữa $a,c$. Khi đó ta có $b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le c\sqrt{b}+\sqrt{abc}\ (1)$;
    + Theo $AM-GM$ ta có $a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{2b(a+c)(a+c)}{2} }\le \sqrt{\dfrac{8}{2}}=2\ (2)$.
    + Cộng (1) và (2) theo vế ta có điều phải chứng minh!

  11. Cám ơn khanhsy đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này