Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    884

  2. Cám ơn quỳnh như,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi lequangnhat20 Xem bài viết
    Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng : $(1-\frac{a}{b+c})(1-\frac{b}{c+a})(1-\frac{c}{a+b})\leq \frac{1}{8}$
    Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c \ge 0$
    Khi đó $\dfrac{b}{a+c} <1 ;\dfrac{c}{a+b} <1$

    Xét các trường hợp sau:

    + Trường hợp 1: Nếu $\dfrac{a}{b+c}\ge 1$ khi đó bất đẳng thức luôn đúng.

    + Trường hợp 2: Nếu $\dfrac{a}{b+c} <1$ khi đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho vế trái ta có

    \begin{align}
    (1-\frac{a}{b+c})(1-\frac{b}{c+a})(1-\frac{c}{a+b})& \le\dfrac{ \Big( 3- \big[\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\big] \big)^3}{27}
    \end{align}

    Bất đẳng thức được chứng minh nếu ta chứng minh được
    $$\dfrac{ \Big( 3- \big[\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\big] \big)^3}{27} \le \dfrac{1}{8}$$
    $$\iff \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}$$
    Bất đảng thức này luôn đúng theo bất đẳng thức nesbit

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bất đẳng thức này là bất đẳng thức thuần nhất liệu có thể chuẩn hóa dùng hàm được k nhỉ:

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi lequangnhat20 Xem bài viết
    Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng : $(1-\frac{a}{b+c})(1-\frac{b}{c+a})(1-\frac{c}{a+b})\leq \frac{1}{8}$
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
    \[8(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq (a+b)(b+c)(c+a)\]
    Mà ta có:
    \[(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc\]
    Do đó ta cần chứng minh:
    \[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc\]
    TH1: $a,b,c$ không là 3 cạnh của tam giác thì bất đẳng thức luôn đúng !
    TH2: $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác
    Khi đó ta có:
    $$ \sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \le \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2} = b $$
    Tương tự suy ra:
    \[\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)} \le c\\ \sqrt{(c+a-b)(a+b-c)} \le a\]
    Suy ra điều phải chứng minh !

  6. Cám ơn  $T_G$, trancao101010710 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này