Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    14
    Cám ơn (Đã nhận)
    19

  2. #2
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi thanh phong Xem bài viết
    $7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}-7^{7^{7^{7}}}$ chia hết cho 10
    Hướng dẫn (Sơ cấp):
    + Dự đoán: $7^1=\color{red}{7},7^2=4\color{red}{9},7^3=34 \color{red}{3} ,7^4=240\color{red}{1},...$
    + Chú ý $7^n=(8-1)^n$ có dạng $4k+1$ nếu $n$ chẵn và có dạng $4k-1$ nếu $n$ lẻ.
    + Mà $7^{7^{7^{7^{7}}}},7^{7^{7}}$ đều có dạng $4k-1$ nên $7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}},7^{7^{7^{7}}}$ khi chia cho $10$ sẽ có cùng số dư là $3$.
    + Như vậy $7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}-7^{7^{7^{7}}}$ chia hết cho $10$.

  3. #3
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi thanh phong Xem bài viết
    $7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}-7^{7^{7^{7}}}$ chia hết cho 10
    Giải:
    Với n lẻ thì tồn tại k: ${7^n} = 4k + 3,\,\,k \in Z$ (hay ${7^n}$ chia 4 dư 3)

    Các bạn có thể kiểm tra với ${7^1}{,7^2}{,7^3}{,7^4}{,7^5},...$ khi chia chúng lần lượt cho 4 sẽ thấy.
    Vì các số dư lặp lại một cách tuần hoàn nên theo định lý thì 7 mũ n lẻ luôn chia 4 dư 3

    suy ra
    : $\exists k,m \in Z:\,\,\,{7^{{7^{{7^{{7^7}}}}}}} = 4k + 3,\,\,{7^{{7^7}}} = 4m + 3$

    Do đó ${7^{{7^{{7^{{7^{{7^7}}}}}}}}} - {7^{{7^{{7^7}}}}} = {7^{4k + 3}} - {7^{4m + 3}} = 343\left( {{7^{4k}} - {7^{4m}}} \right) = 343\left( {{{2401}^k} - {{2401}^m}} \right)$

    Trong ngoặc là hiệu của hai số mà khi chia chúng cho 10 có cùng số dư là 1 nên hiệu đó chia hết cho 10.

    Xong!
    Sửa lần cuối bởi trantruongsinh_dienbien; 08/09/14 lúc 06:07 PM. Lý do: Nhầm dư 3 với dư 1. đã sửa lại

  4. #4
    Moderator Popeye's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Ngày sinh
    10-12-1994
    Bài viết
    72
    Cám ơn (Đã nhận)
    95
    Với $n$ lẻ ta có$$7^n\equiv (-1)^n =- 1 \equiv 3 (\mod 4)$$Nên hai số trên có thể viết dưới dạng $(7^4)^k.7^3$ và $(7^4)^l.7^3$.Vì $\varphi (10)=4$ nên theo Định lý Euler ta có $7^4 \equiv 1 (\mod 10)$Vậy 2 số trên đều đồng dư $7^3$ theo Modulo 10 và ta có Đpcm
    IF YOU'RE GOOD AT SOMETHING, NEVER DO IT FOR FREE

  5. Cám ơn trantruongsinh_dienbien đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này