Cho $a,b,c,d$ là các số thực và $a >0,d>0$ với $ab \leq \frac{19}{3},bc \geq \frac{41}{3},\frac{37}{6} \leq \frac{cd}{3} \leq \frac{47}{7}$ và thỏa mãn hệ phương trình
$$\begin{cases}6ab+3bc+2cd=121\\3ab^2c+2abcd+bc^2d =810\\ab^2c^2d=1800\\4a^4+4a^2d-3a^2d^2+4ad^3+d^4=0\end{cases}$$
Tính giá trị của $a+b+c+d^2$