Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    27
    Bài viết
    20
    Cám ơn (Đã nhận)
    32


    Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm thực
    $ \begin{cases}
    & {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}x+\sqrt{x+y}=\sqrt{2(x+y-1)}+2xy-x-y+2 \\
    & \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+2\sqrt{xy}=m \\
    \end{cases} $
    (Đề thi lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội 2014)
    Phía cuối con đường
    What will be will be.

  2. #2
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi tutuhtoi Xem bài viết
    Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm thực
    $ \begin{cases}
    & {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}x+\sqrt{x+y}=\sqrt{2(x+y-1)}+2xy-x-y+2 \\
    & \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+2\sqrt{xy}=m \\
    \end{cases} $
    (Đề thi lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội 2014)
    Để ý ở phương trình một ta có :
    $$\left ( xy + 1 \right )\left ( x + y - 2 \right ) = \frac{x + y - 2}{\sqrt{2\left ( x + y - 1 \right ) + \sqrt{x + y}}}$$
    Đến đây sẽ có hai trường hợp xảy ra :

    TH1 : Với $x + y = 2$ thế xuống phương trình hai thì : $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2 - x} + 2\sqrt{x\left ( 2 - x \right )} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi : $\sqrt[3]{2} \leq m \leq 4$

    TH2 : Với $\begin{cases} xy = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ thì ta sẽ được $m = 1$.

  3. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    28
    Bài viết
    25
    Cám ơn (Đã nhận)
    35
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    Để ý ở phương trình một ta có :
    $$\left ( xy + 1 \right )\left ( x + y - 2 \right ) = \frac{x + y - 2}{\sqrt{2\left ( x + y - 1 \right ) + \sqrt{x + y}}}$$
    Đến đây sẽ có hai trường hợp xảy ra :

    TH1 : Với $x + y = 2$ thế xuống phương trình hai thì : $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2 - x} + 2\sqrt{x\left ( 2 - x \right )} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi : $\sqrt[3]{2} \leq m \leq 4$

    TH2 : Với $\begin{cases} xy = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ thì ta sẽ được $m = 1$.
    Bạn có thể nói rõ vì sao bạn có $m$ như thế không? Trường hợp 2 thì $xy + 1= \frac{1}{\sqrt{2 ( x + y - 1)} + \sqrt{x + y}}$ có thể dẫn đến $\begin{cases} xy = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ không?
    Nothing Is Impossible.

  5. #4
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi analysis90 Xem bài viết
    Bạn có thể nói rõ vì sao bạn có $m$ như thế không? Trường hợp 2 thì $xy + 1= \frac{1}{\sqrt{2 ( x + y - 1)} + \sqrt{x + y}}$ có thể dẫn đến $\begin{cases} xy = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ không?
    Đây bạn nhé!
    Tập tin đính kèm Tập tin đính kèm

  6. #5
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi analysis90 Xem bài viết
    Bạn có thể nói rõ vì sao bạn có $m$ như thế không? Trường hợp 2 thì $xy + 1= \frac{1}{\sqrt{2 ( x + y - 1)} + \sqrt{x + y}}$ có thể dẫn đến $\begin{cases} xy = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ không?
    do đk $x + y \ge 1,\,\,\,xy \ge 0$ nên $VT \ge 1 \ge VP$

  7. #6
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2 - x} + 2\sqrt{x\left ( 2 - x \right )} = m$
    đk: $0 \le x \le 2$. áp dụng BĐT AM - GM ta có

    $VT = \sqrt[3]{{1.1.x}} + \sqrt[3]{{1.1.(2 - x)}} + 2\sqrt {x(2 - x)} \le \frac{{2 + x + 4 - x}}{3} + x + 2 - x = 4$

    Dấu "=" khi x = 1. Vậy $m \le 4$

    $VT = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{2 - x}} + 2\sqrt {x(2 - x)} \ge \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{2 - x}} = t$

    mặt khác ${t^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{x(2 - x)}}\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{2 - x}}} \right) \ge 2 \Rightarrow t \ge \sqrt[3]{2}$

    Dấu "=" khi x = 0 hoặc x = 2. Vậy $m \ge \sqrt[3]{2}$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này