Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán: Cho các số dương x, y, z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $S = \frac{{{x^2}y}}{{{z^3}}} + \frac{{{y^2}z}}{{{x^3}}} + \frac{{{z^2}x}}{{{y^3}}} + \frac{{13xyz}}{{3\left( {x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}} \right)}}$

  2. Cám ơn kalezim16 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Cho các số dương x, y, z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $S = \frac{{{x^2}y}}{{{z^3}}} + \frac{{{y^2}z}}{{{x^3}}} + \frac{{{z^2}x}}{{{y^3}}} + \frac{{13xyz}}{{3\left( {x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}} \right)}}$
    Gợi ý:

    $\begin{array}{l}
    + \frac{{x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}}}{{xyz}} = \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y}\\
    + \frac{{{x^2}y}}{{{z^3}}} + \frac{{{y^2}z}}{{{x^3}}} + \frac{{{z^2}x}}{{{y^3}}} = \frac{{y/z}}{{{{(z/x)}^2}}} + \frac{{z/x}}{{{{\left( {x/y} \right)}^2}}} + \frac{{x/y}}{{{{(y/z)}^2}}}\\
    = \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\\
    = ab + bc + ca \ge \sqrt {3abc\left( {a + b + c} \right)} = \sqrt {3\left( {a + b + c} \right)} \\
    \Rightarrow S \ge f(t) = \sqrt {3t} + \frac{{13}}{{3t}},t = a + b + c \ge 3,a = \frac{x}{y},b = \frac{y}{z},c = \frac{z}{x}\\
    + f'(t) = \frac{3}{{2\sqrt {3t} }} - \frac{{13}}{{3{t^2}}} > 0,\forall t \ge 3 \Rightarrow S \ge f(t) \ge f(3) = \frac{{40}}{9}
    \end{array}$

  4. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Cho các số dương x, y, z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $S = \frac{{{x^2}y}}{{{z^3}}} + \frac{{{y^2}z}}{{{x^3}}} + \frac{{{z^2}x}}{{{y^3}}} + \frac{{13xyz}}{{3\left( {x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}} \right)}}$
    Giải
    Ta có $\begin{align}
    & S=\frac{{{x}^{2}}y}{{{z}^{3}}}+\frac{{{y}^{2}}z}{{ {x}^{3}}}+\frac{{{z}^{2}}x}{{{y}^{3}}}+\frac{13xyz }{3\left( x{{y}^{2}}+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}} \right)} \\
    & \,\,\,\,={{\left( \frac{x}{z} \right)}^{2}}\left( \frac{y}{z} \right)+{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{2}}\left( \frac{z}{x} \right)+{{\left( \frac{z}{y} \right)}^{2}}\left( \frac{x}{y} \right)+\frac{13}{3\left( \frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y} \right)} \\
    \end{align}$
    Đặt $\begin{cases}
    a=\frac{x}{z} \\
    b=\frac{y}{x} \\
    c=\frac{z}{y} \\
    \end{cases}$
    $\Rightarrow a.b.c=1$
    Khi đó ta có \[\begin{align}
    & S=\frac{{{a}^{2}}}{c}+\frac{{{b}^{2}}}{a}+\frac{{{ c}^{2}}}{b}+\frac{13}{3\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)} \\
    & \,\,\,\,=\frac{{{a}^{2}}}{c}+\frac{{{b}^{2}}}{a}+\ frac{{{c}^{2}}}{b}+\frac{13abc}{3\left( ab+bc+ca \right)} \\
    & \,\,\,\,\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{a+b+c}+\frac{13}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}=a+b+c+\frac{13}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}} \\
    & \,\,=\frac{a+b+c}{27}+\frac{13\left( a+b+c \right)}{27}+\frac{13\left( a+b+c \right)}{27}+\frac{13}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}} \\
    & \,\,\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{27}+3\sqrt[3]{\frac{13\left( a+b+c \right)}{27}.\frac{13\left( a+b+c \right)}{27}.\frac{13}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}} \\
    & \,\,=\frac{40}{9} \\
    \end{align}\]

  6. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này