Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có chân đường phân giác trong của góc $A$ là điểm $D(1;-1)$. Đường thẳng $AB$ có phương trình $3x+2y-9=0$, tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có phương trình $x+2y-7=0$. Viết phương trình đường thẳng $BC$.
Lời giải 1
Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $ \begin{cases}
3x+2y=9 \\
x+2y=7
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=1 \\
y=3
\end{cases} \Rightarrow A(1;3)$.
Phương trình đường thẳng $AD$ là: $x-1=0$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, và điểm $H$ là giao điểm của $AD$ với đường tròn $(I)$ với $H\ne A$.
Đường thẳng $AI$ đi qua $A$ và vuông góc với đường $x+2y-7=0$
Nên phương trình $AI$ là:$2(x-1)-(y-3)=0\Leftrightarrow 2x-y+1=0$
Do $I\in AI$, gọi $I(t;2t+1)$ , (với $t\ne 1$ vì $I\ne A$)
$AI^2=(t-1)^2+(2t-2)^2=5(t-1)^2$.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA là:
$(x-t)^2+(y-2t-1)^2=5(t-1)^2$.
Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{(x-t)}^{2}}+{{(y-2t-1)}^{2}}=5{{(t-1)}^{2}} \\
& x-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow y=3(loai)\, \\
& x=1\Rightarrow y=4t-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $H(1;4t-1)$ nên $\overrightarrow{IH}=(1-t;2t-2)$.
Suy ra véctơ pháp tuyến của $BC$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-2)$
nên phương trình BC là: $1(x-1)-2(y+1)=0\Leftrightarrow x-2y-3=0$.

Lời giải 2
Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $ \begin{cases} 3x+2y=9 \\ x+2y=7 \end{cases} \iff \begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases} \implies A(1;3)$.
Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ và tiếp tuyến $x+2y-7=0$.
Ta có $\widehat{ADB}=\widehat{DCA}+ \widehat{CAD}=\widehat{BAM}+ \widehat{DAB}=\widehat{DAM}$ $\implies AM=DM $
Khi đó tọa độ $M$ là nghiệm của hệ
$ \begin{cases} x+2y=7\\ (x-1)^2+(y-3)^2=(x-1)^2+(y+1)^2 \end{cases}\iff \begin{cases} x+2y=7 \\ y=1 \end{cases}$ $ \iff \begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases} \implies M(5;1)$.
Đường thẳng $BC$ cũng chính là đường thẳng $MD$ nên có phương trình $(1+1)(x-1)-(5-1)(y+1)=0\iff x-2y-3=0$