Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$

Bài viết liên quan:

• HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm Min: $\frac{a}{b+c^{2}}+\frac{b}{c+a^{2}}+\frac{c}{a+b^ {2}}\geq \frac{3}{2}$
• Tìm giá trị lớn nhất $P=2x^3+y^3+z^3$
• [BT] Cm \[ {1\over x^2}+{1\over y^2}+{2\over x^2+y^2}\ge{12\over(x+y)^2}. \]
• Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{z}{y}\right)^3+\left( \dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{z}\right)^3+\dfrac{96z}{1+x }$.

[trantruongsinh_dienbien]

Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$

Lời giải:
đặt: $A = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}}$, $B = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$, $t = {\left( {x + y} \right)^2},0 < t \le 1$
Ta có: $A \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2}} \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + \frac{{16}}{{{{(x + y)}^2}}}} = 2\sqrt {t + \frac{4}{t}} $
$ \Rightarrow A \ge 2\sqrt {\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + \frac{3}{t}} \ge 2\sqrt {2 + 3} = 2\sqrt 5 $
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
$B = \frac{{4x}}{{(4{x^2} + 1) + 3}} + \frac{{4y}}{{(4{y^2} + 1) + 3}} \le \frac{{4x}}{{4x + 3}} + \frac{{4y}}{{4y + 3}} = 2 - 3\left( {\frac{1}{{4x + 3}} + \frac{1}{{4y + 3}}} \right)$
$ \Rightarrow B \le 2 - \frac{{12}}{{4(x + y) + 6}} \le 2 - \frac{{12}}{{10}} = \frac{4}{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
Nên $P = A - B \ge 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, hay $min P = 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, khi $x = y = \frac{1}{2}$