Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    53
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    919


    Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$

  2. #2
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$
    Lời giải:
    đặt: $A = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}}$, $B = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$, $t = {\left( {x + y} \right)^2},0 < t \le 1$
    Ta có: $A \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2}} \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + \frac{{16}}{{{{(x + y)}^2}}}} = 2\sqrt {t + \frac{4}{t}} $
    $ \Rightarrow A \ge 2\sqrt {\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + \frac{3}{t}} \ge 2\sqrt {2 + 3} = 2\sqrt 5 $
    Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
    $B = \frac{{4x}}{{(4{x^2} + 1) + 3}} + \frac{{4y}}{{(4{y^2} + 1) + 3}} \le \frac{{4x}}{{4x + 3}} + \frac{{4y}}{{4y + 3}} = 2 - 3\left( {\frac{1}{{4x + 3}} + \frac{1}{{4y + 3}}} \right)$
    $ \Rightarrow B \le 2 - \frac{{12}}{{4(x + y) + 6}} \le 2 - \frac{{12}}{{10}} = \frac{4}{5}$
    Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
    Nên $P = A - B \ge 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, hay $min P = 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, khi $x = y = \frac{1}{2}$

  3. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này