Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$

Bài viết liên quan:

• [BT] Chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[11]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
• Cho a+b$\geq$0.Chứng minh rằng : $16(a^{5}+b^{5})\geq (a+b)^{5}$
• Bất đẳng thức
• [Hỏi] CMR: $\left ( x+y+z \right )+2\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )+\frac{8}{xyz}\geqslant \frac{121}{12}$
• [BT] Tìm GTNN của

[trantruongsinh_dienbien]

Bài toán: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} - \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$

Lời giải:
đặt: $A = \sqrt {4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {4{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}}$, $B = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}}} \right)$, $t = {\left( {x + y} \right)^2},0 < t \le 1$
Ta có: $A \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2}} \ge \sqrt {4{{(x + y)}^2} + \frac{{16}}{{{{(x + y)}^2}}}} = 2\sqrt {t + \frac{4}{t}} $
$ \Rightarrow A \ge 2\sqrt {\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + \frac{3}{t}} \ge 2\sqrt {2 + 3} = 2\sqrt 5 $
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
$B = \frac{{4x}}{{(4{x^2} + 1) + 3}} + \frac{{4y}}{{(4{y^2} + 1) + 3}} \le \frac{{4x}}{{4x + 3}} + \frac{{4y}}{{4y + 3}} = 2 - 3\left( {\frac{1}{{4x + 3}} + \frac{1}{{4y + 3}}} \right)$
$ \Rightarrow B \le 2 - \frac{{12}}{{4(x + y) + 6}} \le 2 - \frac{{12}}{{10}} = \frac{4}{5}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \frac{1}{2}$
Nên $P = A - B \ge 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, hay $min P = 2\sqrt 5 - \frac{4}{5}$, khi $x = y = \frac{1}{2}$