Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    449


    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{ 1}{abc}$$

  2. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{ 1}{abc}$$
    Ta đi chứng minh
    $$ P \ge 4 $$
    Từ bất đẳng thức quen thuộc
    $$ \left( ab+bc+ca \right)^2 \ge 3abc \left( a+b+c \right) $$
    Kết hợp với giả thiết $ \displaystyle ab+bc+ca =a+b+c $ có
    $$ a+b+c \ge 3abc $$
    Hay
    $$ \frac{1}{abc} \ge \frac{3}{a+b+c} $$
    Từ đó , kết hợp với giả thiết rằng $ \displaystyle \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=1 $ có
    $$ P \ge \frac{ab+bc+ca}{abc} + \frac{3}{a+b+c} = \frac{\left( ab+bc+ca \right)^2}{abc \left( a+b+ c \right)} + \frac{3 \left( ab+bc+ca \right)}{\left( a+b+c \right)^2} $$
    Cần chứng minh
    $$ \frac{\left( ab+bc+ca \right)^2}{abc \left( a+b+ c \right)} + \frac{3 \left( ab+bc+ca \right)}{\left( a+b+c \right)^2} \ge 4 $$
    Chuyện này đúng bởi
    $$ \frac{\left( ab+bc+ca \right)^2}{abc \left( a+b+ c \right)} + \frac{3 \left( ab+bc+ca \right)}{\left( a+b+c \right)^2} - 4 \\
    = \frac{a^3 \left( b-c \right)^2 + b^3 \left( c-a \right)^2 + c^3 \left( a-b \right)^2}{abc \left( a+b+c \right)^2} \ge 0 $$
    Tại $ \displaystyle a=b=c=1 $ thì $ \displaystyle P =4 $.


    Vậy
    $$ \min P = 4 $$

  4. Cám ơn letrungtin, Mr.Cloud đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này