Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Vĩnh Phúc
    Tuổi
    18
    Bài viết
    4
    Cám ơn (Đã nhận)
    7


    Cho $a,b,c>0,a\neq b\neq c$

    CMR $(a^2+b^2+c^2)\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]\geqslant \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$
    -----------------------------------------

  2. Cám ơn nightfury, kalezim16, Truy Mệnh đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy
    Cho $x,y,z$ là các số thực phân biệt không âm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    $$S=\left(x^2+y^2+z^2 \right)\left[\dfrac{1}{\left(x-y \right)^2}+\frac{1}{\left(y-z \right)^2}+\dfrac{1}{\left(z-x \right)^2} \right]$$
    Chuẩn hóa $ z= min\{x,y,z\} \rightarrow x,y \neq 0 $ . Lúc đó ta có :
    $$ S \ge \left(x^2+y^2 \right)\left[\frac{1}{\left(x-y \right)^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2} \right] $$
    Rõ ràng tính thuần nhất vẫn còn , tiếp tục chuẩn hóa $ y=1 , x\neq 1 $ khi đó ta cần chứng minh .
    $$ S \ge \left(x^2+1 \right)\left[\dfrac{1}{\left(x-1 \right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+1 \right] = \dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}-2}+ \left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2+1$$
    Để bài toán đơn giản đặt $ t=x+\dfrac{1}{x} -2 \ge 0 $ . Khi đó bài toán qua ngôn ngữ $t $ là và dễ dàng chứng mình bằng $ Cau-Chy$ trọng số hoặc đạo hàm ta có .
    $$ \begin{aligned} S \ge f(t) &=\dfrac{2}{t}+(t+2)^2+ 1\\
    & \ge \dfrac{2}{t}+ (3+\sqrt{5})t +\dfrac{7+\sqrt{5}}{2} \\
    &\ge 2 \sqrt{\dfrac{2}{t}.(3+\sqrt{5})t} +\dfrac{7+\sqrt{5}}{2} \\
    & = \dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$$


    $ \rightarrow \min S= \dfrac{11+5\sqrt{5}}{2} $

  4. Cám ơn letrungtin, Tran Le Quyen, kalezim16, lahantaithe99 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này