Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    105


    Có nhiều bài toán HPT hai biến bậc 3, 4 thậm chí là 5 được giải bằng cách rất bất ngờ và rất thiếu tự nhiên.

    Chẳng hạn như bài toán sau:
    Giải hệ phương trình:
    [TEX]\begin{cases}(x-y)^2+x+y=y^2\\x^4-4x^2y+3x^2=-y^2\end{cases}[/TEX]

    Lời giải.

    Phương trình thứ nhất chính là [TEX]x^2-2xy+x+y=0[/TEX], nhân PT này với [TEX]x(x-2)[/TEX] rồi trừ vào PT thứ hai, ta thu được:

    [TEX]x(x-2)(x^2-2xy+x+y)+(x^4-4x^2y+3x^2+y^2)=(x-y)(2x^3-x^2+x-y).[/TEX]
    Do đó, từ hệ ta suy ra [TEX]x=y[/TEX] hoặc [TEX]2x^3-x^2+x-y=0.[/TEX]

    * Với [TEX]x=y[/TEX] Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được [TEX]2x-x^2=0.[/TEX]
    Từ đó suy ra [TEX]x=y=0[/TEX] hoặc [TEX]x=y=2.[/TEX] Thử lại, ta thấy các bộ số này đều là nghiệm của hệ.

    * Với [TEX]2x^3-x^2+x-y=0[/TEX]
    Do [TEX]3(2x^3-x^2+x-y) +(2x+1)(x^2-2xy+x+y)=2(2x^2+1)(2x-y),[/TEX] nên ta có [TEX]y=2x.[/TEX]
    Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta thu được [TEX]-3x^2+3x=0,[/TEX] tức [TEX]x=0[/TEX] hoặc [TEX]x=1[/TEX] (tương ứng, ta có [TEX]y=0[/TEX] hoặc [TEX]y=2[/TEX]).
    Thử lại, ta thấy [TEX](x,\,y)=(0,\,0)[/TEX] và [TEX](x,\,y)=(1,\,2)[/TEX] đều thỏa mãn hệ phương trình.

    Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là [TEX](x,\,y)=(0,\,0),\, (x,\,y)=(2,\,2)[/TEX] và [TEX](x,\,y)=(1,\,2).[/TEX]

    Lời giải kết thúc, rất đẹp và ấn tượng nhưng để lại quá nhiều uẩn khúc từ những biểu thức được nhân thêm vào. Tất nhiên còn một số lời giải khác dựa trên đặc trưng của HPT này nhưng chúng ta mong muốn tìm một cách tương đối tổng quát để xử lí HPT có dạng tương tự.

    Dưới đây, mình xin phân tích một bài HPT khác để làm rõ ý tưởng và mong rằng từ đó các bạn có thể giải lại bài kia theo cách đã được đưa ra.

    Xét HPT sau:
    [TEX]\left\{ \begin{aligned} & x^4+2(3y+1)x^2+(5y^2+4y+11)x -y^2+10y +2=0 \\ & y^3+(x-2)y+x^2+x+2=0 \end{aligned} \right.[/TEX]

    Cách này nói chung chỉ có thể áp dụng đối với một lớp nhất định các bài HPT nào đó thôi chứ không phải bài nào dạng này cũng áp dụng được. Ý tưởng này mình tham khảo của anh Cẩn.

    Trước hết, ta thấy rằng các hệ dạng này thường có các biến quan hệ với nhau bởi một hệ thức tuyến tính và các công việc mà chúng ta phải thực hiện là nhân một trong hai phương trình của hệ với một biểu thức thích hợp rồi cộng lại, nhiều khi phải nhân với cả hai phương trình (không xét việc nhân phân thức). Vấn đề là tìm cái biểu thức thích hợp!

    Các bạn hãy tham khảo việc phân tích dưới đây:

    *Bước 1: nhẩm nghiệm.

    Ta lần lượt thử các giá trị [TEX]x=-2,x=-1,x=0,x=1,x=2,x=3,...[/TEX] vào hệ để kiểm tra. Thực tế là ta chỉ cần thay giá trị vào rồi giải phương trình ẩn y còn lại bằng máy tính (đối với kì thi ĐH-CĐ, còn đối với thi HSG thì việc nhẩm nghiệm này cũng không phải quá khó); trường hợp nào có nghiệm y chung ở hai PT thì ta nhận được một nghiệm của hệ đã cho.
    Bằng cách này, ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của hệ là [TEX](x,y)=(-1,1),(2,-2).[/TEX]

    *Bước 2: tìm quan hệ tuyến tính giữa hai biến này.

    Thông thường thì khi đã có hai nghiệm, chúng ta sẽ giải một hệ phương trình để tìm quan hệ tuyến tính có dạng [TEX]y=ax+b[/TEX], việc này khá quen thuộc. Ở đây, quan hệ này dễ thấy là [TEX]y=-x.[/TEX]

    *Bước 3: thay vào và phân tích thành nhân tử.

    Ta thay x bởi y hoặc y bởi x (tùy trường hợp xem cách nào có lợi), với bài này ta thay [TEX]y=-x[/TEX] vào hai phương trình của hệ, ta được hai phương trình là
    [TEX]x^4+2(-3x+1)x^2+(5x^2-4x+11)x-x^2-10x+2=0,[/TEX]
    [TEX]-x^3-(x-2)x+x^2+x+2=0[/TEX]
    Tiến hành phân tích nhân tử hai phương trình này (tất nhiên là ta đã biết trước nghiệm [TEX]x=-1,x=2[/TEX] nên việc này tiến hành không khó), ta thu được [TEX](x+1)^2(x-1)(x-2)=0[/TEX] và [TEX](x+1)^2(x-2)=0 [/TEX]

    *Bước 4: lựa chọn biểu thức thích hợp.

    Như thế, so với phương trình thứ nhất vừa nhận được thì phương trình thứ hai thiếu đi một biểu thức là [TEX]x-1[/TEX], nhưng chú ý rằng biểu thức này cũng tương đương với [TEX]-y-1.[/TEX] Ta sẽ chọn một trong hai biểu thức này để nhân vào.
    Rõ ràng nếu chọn [TEX]-y-1[/TEX] thì việc nhân sẽ tạo ra một đa thức có chứa biến y đồng bậc với đa thức ở phương trình thứ nhất ban đầu.
    Ta chọn [TEX]-(y+1)[/TEX] và đến đây thì tiếp tục công việc giải như sau.

    Nhân phương trình thứ hai cho [TEX]y+1,[/TEX] rồi lấy phương trình thứ nhất, trừ phương trình vừa nhận được, ta có:
    [TEX](x+y)(x-y+2)(x^2-2x+y^2+3y+5)=0.[/TEX]
    - Với [TEX]x=-y,[/TEX] ta đưa phương trình thứ hai của hệ về [TEX](y+2)(y-1)^2=0.[/TEX]
    - Với [TEX]x=y-2,[/TEX] ta đưa phương trình thứ hai của hệ về [TEX](y-1)^2(y+4)=0.[/TEX]
    Dễ thấy không xảy ra [TEX]x^2-2x+y^2+3y+5=0.[/TEX]
    Thử lại ta thấy đều thỏa.
    Từ đó ta thu được 3 nghiệm là [TEX](x,y)=(-1,1),(2,-2),(-6,-4)[/TEX] của hệ đã cho.


    Mọi người có thể thấy một hạn chế rõ ràng của phương pháp này là ở bước 1, nếu ta không nhẩm được 2 nghiệm của hệ hoặc hệ chỉ có 1 nghiệm thì vấn đề khá rắc rối. Mong rằng qua bài viết nhỏ này, các bạn có thể rút ra được một chút kinh nghiệm và có thể dựa trên ý tưởng căn bản đã nêu để phát triển phương pháp này mạnh hơn nữa, xử lí được các bài chỉ nhẩm được một nghiệm, nhẩm được nghiệm kép hoặc quan hệ phi tuyến tính.


    Bài 1: $$\begin{cases} x^2-2xy+x+y=0\ (1) \\ x^4-4x^2y+3x^2=-y^2\ (2) \end{cases}$$
    Giả sử ta chỉ tìm được nghiệm $(x;y)=(1;2)$. Ý tưởng của ta là nhân (1) cho một số $a$ và cộng với (2), được phương trình (3). Ta sẽ lần lượt xét (3) là phương trình theo x rồi đến y, từ đó dùng Horner phân tích thành nhân tử.

    Đầu tiên, ta có:
    $$(1).a+(2) \Leftrightarrow x^4+x^2(-4y+a+3)+x(a-2ay)+ay+y^2=0\ (3)$$
    Để (3) có nghiệm $x=1$ thì tổng các hệ số là 0, nghĩa là
    $$1-4y+a+3+a-2ay+ay+y^2=0 \Leftrightarrow y^2+y(-a-4)+2a+4=0 \Leftrightarrow (y-2)(y-a-2)=0$$
    Vậy ta lấy $y=a+2 \Leftrightarrow a=y-2$
    Khi đó $$(3) \Leftrightarrow x^4+x^2(-3y+1)+x(-2y^2+5y-2)+2y^2-2y=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+(-3y+2)x-2y^2+2y)=0$$
    Vậy ngoài nghiệm $x=1$ ta còn được hệ mới: $\begin{cases} x^3+x^2+(-3y+2)x-2y^2+2y=0\ (4) \\ x^2-2xy+x+y=0\ (1) \end{cases}$
    Ta hi vọng có thể khử $xy$, do đó biến đổi:
    $$(4).2 - (1).3 \Leftrightarrow 2x^3-x^2+x-4y^2+y=0\ (*)$$

    Lại xét (3) là một phương trình theo $y$. Làm tương tự như anh Lữ, với nghiệm biết trước $y=2$ ta tìm được $a=x(x-2)$
    Vậy ngoài trường hợp $x=y$ ta cũng có thêm $2x^3-x^2+x-y=0\ (**)$
    Từ (*) và (**) suy ra $-4y^2+y=-y \Leftrightarrow y \in \{ 0; \dfrac{1}{2} \}$
    Thử lại ta thấy hệ đầu có nghiệm $(0;0)$.

    Đến đây ta đã tìm được 2 nghiệm của hệ là $(1;2)$ và $(0;0)$. Vậy còn nghiệm thứ 3 là $(2;2)$ đâu?
    Thật ra để ý tiếp là như đã nói ở trên, ta nhân (1) cho $a=y-2$, do đó phải xét $y=2$ và $y \ne 2$. Ở bài này, ngẫu nhiên là trường hợp $y=2$ đã cho ta thêm 1 nghiệm là $(2;2)$.Vậy là xong.

  2. Cám ơn leminhansp, Tran Le Quyen, khotam, tutuhtoi, chihao đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Cái này là phương pháp nhân tử tuyến tính! Cái này mình có viết 1 bài nhỏ gửi tập san của anh phamtuankhai rồi! Cộng thêm casio là làm luôn loại có nghiệm vô tỷ.

  4. Cám ơn gacon, Trịnh Hữu Dương đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Tích Cực Pho Rum's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Miền cát trắng
    Tuổi
    19
    Bài viết
    75
    Cám ơn (Đã nhận)
    64
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Cái này là phương pháp nhân tử tuyến tính! Cái này mình có viết 1 bài nhỏ gửi tập san của anh phamtuankhai rồi! Cộng thêm casio là làm luôn loại có nghiệm vô tỷ.
    Cái này em thấy trên mathscope.org anh Nguyễn Anh Huy cũng có đề cập tới rồi

    Thầy letrungtin , tập san đó bán ở đâu ạ ?

  6. #4
    Moderator caodinhhoang's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Vạn Mai Sơn Trang
    Tuổi
    21
    Bài viết
    238
    Cám ơn (Đã nhận)
    238
    Đặc sản Toán Học số 2 tháng 9 ở trang Toanhoc24h ý Pho Rum
    Hello AJNOMOTO

  7. Cám ơn Pho Rum, hoangcuto đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Thành Viên Tích Cực Pho Rum's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Miền cát trắng
    Tuổi
    19
    Bài viết
    75
    Cám ơn (Đã nhận)
    64
    Trích dẫn Gửi bởi Hoàng Thiên Toàn Năng Xem bài viết
    Đặc sản Toán Học số 2 tháng 9 ở trang Toanhoc24h ý Pho Rum
    Bạn dẫn link đc ko ?? . TKS !!!

  9. #6
    Thành Viên Chính Thức tutuhtoi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    28
    Bài viết
    20
    Cám ơn (Đã nhận)
    32
    Trích dẫn Gửi bởi Pho Rum Xem bài viết
    Bạn dẫn link đc ko ?? . TKS !!!
    GỬI BẠN LINK: [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
    Phía cuối con đường
    What will be will be.

  10. Cám ơn lequangnhat20, Pho Rum, Mậu Tòng đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này