Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 17
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    25
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36


    Như các bạn cũng biết, BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ là một trong chuyên đề Toán mà khi nhắc đến nhiều người vẫn nghĩ là "KHÓ". Tuy nhiên đối với những bạn trẻ yêu thích Toán thì nó lại là một trong những mảng Toán được khá nhiều bạn trẻ hứng thú. Và trước đây, TOPIC về BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ của diễn đàn cũ cũng được đông đảo các bạn trẻ quan tâm.

    Để nối tiếp "thành tựu" trước đây của diễn đàn cũ, nên mình quyết định lập ra topic này nhằm tạo sân chơi, nơi giao lưu, học hỏi đối với những bạn có niềm yêu thích về mảng "
    BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ", hoặc cùng thảo luận về những bài toán mà các bạn chưa giải quyết được. Các bạn có thể cùng nhau thảo luận về bất kì một bài toán nào, và có thể đưa ra càng nhiều "phương pháp giải" càng tốt! Vì điều đó đồng nghĩa với việc giúp các bạn phát triển tư duy về kĩ năng biến đổi đại số tốt hơn!Nên mình rất hy vọng được các bạn ủng hộ!

    NỘI QUY:

    1. Thực hiện đúng nội quy diễn đàn ([Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung])
    2. Các bạn đăng bài nhớ kiểm tra kĩ và đánh số thứ tự các bài toán.
    3. Nhớ ghi rõ nguồn gốc bài toán (nếu có)
    4. Trình bày rõ ràng, chi tiết!


    Sau đây mình xin nói lại về một số BĐT phổ biến và thường dùng để các bạn tiện tham khảo:

    1. BĐT giữa Trung Bình Cộng - Trung Bình Nhân (AM-GM)

    Nếu $a_1; a_2; a_3;...;a_n$ là các số thực không âm, thì luôn có:
    $a_1+a_2+a_3+...+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$

    2. BĐT giữa Trung Bình Cộng - Trung Bình Điều Hòa (AM-HM)
    Nếu $a_1; a_2; a_3;...;a_n$ là các số thực dương, ta có:
    $\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\ge\frac{n}{\frac{1} {a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$

    3. BĐT Cauchy - Schwarz
    Nếu $a_1; a_2; ...;a_n$ và $b_1; b_2; ...;b_n$ là các số thực tùy ý thì:
    $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_1^2+...+b_n^2)$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_ n}$ (quy ước: mẫu bằng $0$ thì tử bằng $0$)

    - Hệ quả 1: Nếu $a_1;a_2;...;a_n$ là các số thực và $b_1; b_2;...; b_n$ là các số thực dương thì:
    $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n ^2}{b_n}\ge\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+ b_n}$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_ n}$
    - Hệ quả 2: Cho 2 dãy số thực
    $a_1;a_2;...;a_n$ và $b_1; b_2;...; b_n$ ta có:
    $\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a _n^2+b_n^2}\ge\sqrt{(a_1+...+a_n)^2+(b_1+...+b_n)^ 2}$
    - Hệ quả 3: Với mọi số thực $a_1; a_2; ...; a_n$ ta có:
    $(a_1+a_2+...+a_n)^2\le n(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$

    4. BĐT Minkowski
    Cho 2 dãy số dương
    $a_1;a_2;...;a_n$ và $b_1; b_2;...; b_n$. Với mọi $k\ge 1$ thì ta có:
    $\left[\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^k\right]^\frac{1}{k}\le\left (\sum_{i=1}^{n}a_i^k\right)^{\frac{1}{k}}+\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^k\right )^{\frac{1}{k}}$
    Trường hợp $k=2$ thì ta thu được hệ quả 2 - BĐT Cauchy - Schwarz ở trên.

    5. BĐT Holder:
    Cho $a, b, c, x, y, z, m, n, p$ là các số thực dương thì:
    $(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3$

    6. BĐT Bernoulli:
    - Nếu $k\ge 1$ hoặc $k\le 0$ thì: $(1+x)^k\ge 1+kx, \forall x>-1$.
    - Nếu $0\le k\le 1$ thì: $(1+x)^k\le 1+kx, \forall x>-1$.

    7. BĐT Chebyshev
    Cho hai dãy số $a_1,a_2,a_3, ... a_n$ và $x_1,x_2,x_3, ... x_n$
    - Nếu hai dãy số đã cho là đơn điệu cùng chiều ( cùng tăng hoặc cùng giảm ) thì ta luôn có:
    $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+... a_nx_n \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3+... +a_n)(x_1+x_2+x_3+... +x_n)}{n} $
    - Nếu hai dãy số đã cho là đơn điệu ngược chiều thì ta luôn có:
    $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\ldots a_nx_n \le \dfrac{ (a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n)(x_1+x_2+x_3+\ldots +x_n)}{n} $

    8. Những BĐT thường dùng khác:

    1. $a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}{3}\ge ab+bc+ca$
    2. $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc(a+b+c)$
    3. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}, (\forall a, b >0)$
    4. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}, (\forall a, b, c>0)$
    5. $3(a^3+b^3+c^3)^2\ge (a^2+b^2+c^2)^3, (a, b, c\ge 0)$
    6. $ (a+b+c)(ab+bc+ca)\le\frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a), (a, b, c\ge 0)$

    Mong các bạn ủng hộ TOPIC! Xin chân thành cảm ơn :3


    Bài toán 1: Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}+\frac{1}{z^2+2}= \frac{1}{3}$

    Chứng minh rằng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{ \sqrt{7}}$
    Bởi vì phải tiếp tục sống, cho nên phải nỗ lực, giá trị cuộc sống cũng chỉ là một cái chớp mắt lúc bình minh mà thôi!

  2. Cám ơn tinilam, HongAn39, khanhsy,  $T_G$, vuduy, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi Mr_Trang Xem bài viết


    Bài toán 1: Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}+\frac{1}{z^2+2}= \frac{1}{3}$


    Chứng minh rằng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{ \sqrt{7}}$

    Đặt $ \displaystyle a=\frac{\sqrt{7}}{3x} >0 \ ; \ b=\frac{\sqrt{7}}{3y} >0 \ ; \ c=\frac{\sqrt{7}}{3z} >0 $. Ta có
    $$ \frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}+\frac{1}{z^2+2}- \frac{1}{3} = \frac{7 \left( 2916a^2b^2c^2 + 648 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + 63 \left( a^2+b^2+c^2 \right) -49 \right)}{3 \left(18a^2+7 \right) \left( 18b^2+7 \right) \left( 18c^2+7 \right)} =0$$
    Chuyển bài toán đề bài trở thành , với $ \displaystyle a,b,c >0 $ thỏa
    $$ 2916a^2b^2c^2 + 648 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + 63 \left( a^2+b^2+c^2 \right) =49 $$
    Luôn có
    $$ a+b+c \le 1 \quad{(1)} $$
    Trước hết, ta chứng minh kết quả sau đây
    Với các số thực dương $ \displaystyle a,b,c $ thỏa $ \displaystyle a+b+c=1 $, luôn có
    $$ 2916a^2b^2c^2 + 648 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + 63 \left( a^2+b^2+c^2 \right) \ge 49 \quad{(2)} $$
    Để chứng minh $ \displaystyle (2) $, ta đặt $ \displaystyle p=a+b+c=1 \ ; \ q=ab+bc+ca \ ; \ r = abc $.


    Ta thấy
    $$ \left( a-b \right)^2 \left( b-c \right)^2 \left( c-a \right)^2 = q^2-4q^3+2 \left(9q -2 \right) r -27r^2 \ge 0 \quad{(3)} $$
    Vì $ \displaystyle q=ab+bc+ca \le \frac{p^2}{3} =\frac{1}{3} $, giải $ \displaystyle (3) $ thu được
    $$ \frac{9q-2 -2 \left( 1-3q \right) \sqrt{1-3q}}{27} \le r \le \frac{9q-2+ 2 \left(1-3q \right) \sqrt{1-3q}}{27} \quad{(*)} $$
    Đặt $ \displaystyle 3q=1-x^2 \ ; \ x \in \left[ 0 ; 1 \right) $. Từ $ \displaystyle (*) $ có
    $$ \frac{\left( 1-2x \right) \left(1+x \right)^2}{27} \le r \le \frac{\left( 1+2x \right) \left( x-1 \right)^2}{27} $$
    Bất đẳng thức $\displaystyle (2) $ trở thành
    $$ g \left( r \right) = 2916 r^2 -1296 r -102x^2+44+72x^4 \ge 0 \quad{(4)}$$
    Thấy
    $$ g^{'} \left( r \right) = 5832 r -1296 \le 216 -1296 <0 $$
    Từ đó , kết hợp với $ \displaystyle (*) $, có
    $$ g \left( r \right) \ge g \left( \frac{\left( 1+2x \right) \left( x-1 \right)^2}{27} \right) =2x^2 \left( 2x^2-4x+9 \right) \left( 2x-1 \right)^2 \ge 0$$
    Vậy $ \displaystyle (4) $ đúng , suy ra $ \displaystyle (2)$ cũng đúng .


    Trở lại với bài toán ban đầu , ta chứng minh bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ bằng phản chứng . Giả sử tồn tại $ \left( a;b;c \right) $ thỏa mãn
    $$ 2916a^2b^2c^2 + 648 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + 63 \left( a^2+b^2+c^2 \right) =49 $$
    Và có
    $$ a+b+c >1 $$
    Đặt $ \displaystyle a+b+c = k >1 $. Thấy
    $$ \frac{a}{k}+ \frac{b}{k} + \frac{c}{k} =1 $$
    Dùng kết quả $ \displaystyle (2) $ có
    $$ 49 = 2916a^2b^2c^2 + 648 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + 63 \left( a^2+b^2+c^2 \right) \\
    > \frac{2916 a^2b^2c^2}{k^6} + \frac{648}{k^4} \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) + \frac{63}{k^2} \left( a^2+b^2+c^2 \right) \ge 49 $$
    Điều này vô lý , như vậy bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ đúng , ta có điều cần chứng minh .

  4. #3
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Đáp án của chị Hồng Ân thế nào ạ ... sao mới đầu pic lại bài khó quá ạ !
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  5. Cám ơn tinilam, HongAn39 đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Moderator Lãng Tử Mưa Bụi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    23
    Bài viết
    189
    Cám ơn (Đã nhận)
    163
    Cho x,y,z $\left [ 0;1 \right ]$ tìm giá trị lớn nhất của P
    $P=\frac{x^3+3}{y^2+2}+\frac{y^3+3}{z^2+2}+\frac{z ^3+3}{x^2+2}$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Cho a,b,c >0 CMR
    $\left ( 1+\frac{4a}{b+c} \right )\left ( 1+\frac{4b}{a+c} \right )\left ( 1+\frac{4c}{a+b} \right )\geq 25$

  7. Cám ơn tinilam, HongAn39, kyanh111 đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Thành Viên Chính Thức Văn Ngọc Khánh's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    20
    Cám ơn (Đã nhận)
    14
    Cho x,y,z>0. CMR:
    $\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{yz}+z)^{2}}+\frac{2y^{2 }+yz}{(z+\sqrt{zx}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+ \sqrt{xy}+y)^{2}} \geq 1$

  9. Cám ơn tinilam, HongAn39 đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trong topic này mọi người sẽ cùng nhau thảo luận những bài toán bất đẳng thức và cực trị. Các bài toán sẽ thuộc phạm vi thi đại học. Mỗi bài toán sẽ có thời hạn giải là hai ngày. Sau hai ngày mà chưa ai giải hi vọng chủ bài toán sẽ đăng lời giải.
    Bài 1: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y+1=3xy$. Tìm GTLN của biểu thức:
    $P=\frac{3x}{y\left ( x+1 \right )}+\frac{3y}{x\left ( y+1 \right )}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}$
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  11. Cám ơn tinilam, HongAn39, Ngọc Ánh G8,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  12. #7
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Trong topic này mọi người sẽ cùng nhau thảo luận những bài toán bất đẳng thức và cực trị. Các bài toán sẽ thuộc phạm vi thi đại học. Mỗi bài toán sẽ có thời hạn giải là hai ngày. Sau hai ngày mà chưa ai giải hi vọng chủ bài toán sẽ đăng lời giải.
    Bài 1: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y+1=3xy$. Tìm GTLN của biểu thức:
    $P=\frac{3x}{y\left ( x+1 \right )}+\frac{3y}{x\left ( y+1 \right )}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}$
    Ta sẽ chứng minh $P \leq 1$
    Quy đồng mẫu số lên ta có
    $$P=\frac{3x^2(y+1)+3y^2(x+1)}{xy(x+1)(y+1)}-\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$$

    $$\Rightarrow P=\frac{3xy(x+y)+3\left [ (x+y)^2-2xy \right ]}{xy(xy+x+y+1)}-\frac{(x+y)^2-2xy}{x^2y^2}$$

    Chuyển $(x+y,xy) \rightarrow (a,b) \Rightarrow a+1=3b$ theo giả thiết

    Khi đó $$P=\frac{3ab+3a^2-6b}{b(a+b+1)}-\frac{a^2-2b}{b^2}$$

    Thay $a=3b-1$ vào ta có

    \[P=\frac{3b(3b-1)+3(3b-1)^2-6b}{4b^2}-\frac{(3b-1)^2-2b}{b^2} =\frac{5b-1}{4b^2}\]


    Ta có $$P \leq 1 \Leftrightarrow 5b-1 \leq 4b^2\Leftrightarrow (4b-1)(b-1) \leq 0\Leftrightarrow b \geq 1$$
    Nhưng từ giả thiết ta có $x+y+1=3xy$ $\Rightarrow 3xy=x+y+1 \geq 3\sqrt[3]{xy}\Rightarrow xy=b \geq 1$
    Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh xong
    Dấu = xảy ra khi $x=y=1$

  13. Cám ơn tinilam, thuanlqd,  $T_G$, Trunggeniuos đã cám ơn bài viết này
  14. #8
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh
    \[\frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}+\frac{y^3+1}{\sqrt{y^ 4+z+x}}+\frac{z^3+1}{\sqrt{z^4+x+y}}\geq 2\sqrt{3}\]

  15. Cám ơn nightfury, HongAn39,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  16. #9
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi Văn Ngọc Khánh Xem bài viết
    Cho x,y,z>0. CMR:
    $\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{yz}+z)^{2}}+\frac{2y^{2 }+yz}{(z+\sqrt{zx}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+ \sqrt{xy}+y)^{2}} \geq 1$
    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\sum_{cyc}\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{yz}+z)^{2}} = \sum_{cyc} \left ( \frac{x^{2}+xy}{(y+ \sqrt{yz}+z)^{2}} + \frac{y^2}{(z+\sqrt{zx}+x)^{2}} \right ) \\ = \sum_{cyc} \left ( \frac{x^{2}}{(y+ \sqrt{yz}+z)^{2}}+\frac{xy}{(y+ \sqrt{yz}+z)^{2}} + \frac{y^2}{(z+\sqrt{zx}+x)^{2}} \right ) \\ \geq \sum _{cyc} \frac{\left ( x+\sqrt{xy}+y \right )^2}{2(y+ \sqrt{yz}+z)^{2}+(z+\sqrt{zx}+x)^{2}}\]
    Đặt \[\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{xy}+y)=a\\ (y+ \sqrt{yz}+z)^{2}=b\\ (z+\sqrt{zx}+x)^{2}=c \end{matrix}\right.\]Bất đẳng thức trở thành \[\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b} \geq 1\]
    Ta có: \[\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq 1\]
    Điều phải chứng minh !

  17. Cám ơn nightfury, cuong18041998, Văn Ngọc Khánh đã cám ơn bài viết này
  18. #10
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi Lãng Tử Mưa Bụi Xem bài viết

    Cho a,b,c >0 CMR
    $\left ( 1+\frac{4a}{b+c} \right )\left ( 1+\frac{4b}{a+c} \right )\left ( 1+\frac{4c}{a+b} \right )\geq 25$
    Đặt $\frac{1}{x}=\frac{4a}{b+c};\frac{1}{y}=\frac{4b}{ c+a};\frac{1}{z}=\frac{4c}{a+b}$
    Khi đó $x,y,z>0$ và $x+y+z=\frac{b}{4a}+\frac{c}{4a}+\frac{a}{4b}+$ $\frac{ c}{4b}+\frac{b}{4c}+\frac{a}{4c}\geq \frac{3}{2}>1$
    BĐT cần chứng minh đưa về $\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )\left ( 1 +\frac{1}{z}\right )\geq 25\Leftrightarrow \frac{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}{xyz}\geq 25$
    M.n chứng minh tiếp. Mình đưa được về tới đó, m.n giúp mình giải tiếp với
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  19. Cám ơn nightfury, HongAn39 đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này