Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng
    \[\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+a+c)^2}+\frac{1} {(2c+a+b)^2} \le \frac{3}{16}\]
    Từ điều kiện $ \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le a+b+c $ có
    $$ \frac{ab+bc+ca}{abc \left( a+b+c \right)} \le 1 \quad{(1)} $$

    $$ \left(ab+bc+ca \right)^2 \ge 3abc \left( a+b+c \right) $$
    Vậy nên từ $ \displaystyle (1)$ suy ra
    $$ \frac{3}{ab+bc+ca} \le \frac{ab+bc+ca}{abc \left( a+b+c \right)} \le 1 $$
    Hay là
    $$ \frac{9}{16 \left( ab+bc+ca \right)} \le \frac{3}{16} $$
    Cần chứng minh
    $$ \dfrac{1}{\left( 2a+b+c \right)^2}+\dfrac{1}{\left( 2b+c+a \right)^2}+ \dfrac{1}{\left( 2c+a+b \right)^2} \le \frac{9}{16 \left( ab+bc+ca \right)} \quad{( *)} $$
    Dùng AM-GM có
    $$ \left( 2a+b+c \right)^2 = \left( a+b + a+c \right)^2 \ge 4 \left( a+b \right) \left( a+c \right) $$
    Như vậy
    $$ \dfrac{1}{\left( 2a+b+c \right)^2}+\dfrac{1}{\left( 2b+c+a \right)^2}+ \dfrac{1}{\left( 2c+a+b \right)^2} \le \frac{a+b+c}{ 2 \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right)} $$
    Ta thấy $ \displaystyle (*) $ được chứng minh khi ta chứng minh được
    $$ \frac{a+b+c}{ 2 \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right)} \le \frac{9}{16 \left( ab+bc+ca \right)} $$
    Bất đẳng thức này tương đương với
    $$ a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 \ge 6abc $$
    Điều này đúng theo bất đẳng thức AM-GM. Vậy bất đẳng thức $ \displaystyle (*) $ đúng. Từ đó bất đẳng thức đầu bài cũng được chứng minh.

  4. Cám ơn tinilam, khotam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng
    \[\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+a+c)^2}+\frac{1} {(2c+a+b)^2} \le \frac{3}{16}\]
    Lời giải 2
    \[\begin{array}{l}
    a + b + c \ge \sum {\frac{1}{a} \to {{(a + b + c)}^2} \ge (a + b + c)\sum {\frac{1}{a} \ge 9} } \\
    \to a + b + c \ge 3\\
    \to \sum {\frac{1}{{{{(2a + b + c)}^2}}} \le \sum {\frac{1}{{{{(3 + a)}^2}}} \le \sum {\frac{{3 - a}}{{32}}} \le \frac{3}{{16}} \to dpcm} } \\
    a = b = c = 1
    \end{array}\]
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Lời giải 2
    \[\begin{array}{l}
    a + b + c \ge \sum {\frac{1}{a} \to {{(a + b + c)}^2} \ge (a + b + c)\sum {\frac{1}{a} \ge 9} } \\
    \to a + b + c \ge 3\\
    \to \sum {\frac{1}{{{{(2a + b + c)}^2}}} \le \sum {\frac{1}{{{{(3 + a)}^2}}} \le \sum {\frac{{3 - a}}{{32}}} \le \frac{3}{{16}} \to dpcm} } \\
    a = b = c = 1
    \end{array}\]
    Hình như cái này không đúng: $$ \sum \frac{1}{(3 + a)^2} \le \sum \frac{3 - a}{32}$$
    HOA VÔ KHUYẾT

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Hình như cái này không đúng: $$ \sum \frac{1}{(3 + a)^2} \le \sum \frac{3 - a}{32}$$
    Cái này ngược dấu mât rồi đến đoạn $$\sum \frac{1}{(3 + a)^2}$$ cậu có ý tưởng j không
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  10. #6
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Cái này ngược dấu mât rồi đến đoạn $$\sum \frac{1}{(3 + a)^2}$$ cậu có ý tưởng j không
    Bài này tớ thấy cách của materazzi cũng hay mà.
    Chắc ở đây không dùng tiếp tuyến được đâu!!!
    HOA VÔ KHUYẾT

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này