Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    99


    Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thảo mãn tính chất sau: Cho các số thực $a_1,a_2, \cdots ,a_d$ bất kì sao cho $a_1+a_2+ \cdots + a_d=n$ với $0 \le a_i \le 1$ cho mọi $i=1,2, \cdots, d$, ta có thể chia các số này thành $k$ nhóm (có thể có nhóm không có số nào) sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.
    Bài 2. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến chung gần $m$ của hai đường tròn này tiếp xúc với $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$. Gọi $C$ và $D$ lần lượt là hình chiếu hạ từ $A,B$ tới $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DCM$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ thứ tự tại $E$ và $F$ (khác $M$). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEF$ và $NEF$ có cùng độ dài bán kính.
    Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.
    Bài 4. Cho $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số: $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{Z}_{>0} $ thoả mãn $$m^2+f(n)|mf(m)+n$$ với mọi số nguyên dương $m,n$.
    Bài 5. Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Kí hiệu $M,N$ thứ tự là trung điểm cạnh $AB,AC$ và $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $\omega$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMT$ và $ANT$ cắt trung trực của $AB$ và $AC$ tại $X,Y$. Giả sử $X,Y$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $MN$ và $XY$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $KA=KT$.
    Bài 6. Cho $n$ là số nguyên dương và $x_1,x_2, cdots, x_n$ là các số thực. Chứng minh rằng tồn tại các số $a_1,a_2, \cdots, a_n \in \{ -1,1 \}$ sao cho bất đẳng thức trên xảy ra: $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+ \cdots +a_nx_n^2 \ge (a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n)^2.$$

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Bài 4:
    • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

    $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

    • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

    Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$
    $\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm
    Vậy vô hạn số nguyên dương $n$
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    10
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Bài 4:
    • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

    $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

    • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

    Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$
    $\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm
    Vậy vô hạn số nguyên dương $n$
    Lời giải của bạn bi thiếu một phần quan trọng. Bạn mới chỉ chứng minh được ước chung lớn nhất của $n^4+n^2+1$ và $(n+1)^4+(n+1)^2+1$ là $n^2+n+1$ nhưng chưa chứng minh được ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này