Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Bài viết liên quan:

• bất đẳng thức
• Cho $x,y$ là các số thực chứng minh : \[3({x^2} - x + 1)({y^2} - y + 1) \ge 2({x^2}{y^2} - xy + 1)\]
• $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\sqrt{x+y+z}$
• Chứng minh \[3(a^2b+b^2c+c^2a)+6abc+9\ge 8(ab+bc+ca)\]
• Tìm min,max

[Nguyễn Minh Đức]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
$A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}}\\ =\sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}=\frac{3}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.