Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Bài viết liên quan:

• Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa abc=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b} ^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b }$
• [BT] Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $a+b=a^4+b^4$.Chứng minh rằng: $$a^ab^b \le 1 \le a^{a^3}b^{b^3}$$
• [ThL] Đề Olympic KHTN ngày 2
• Tìm GTLN,GTNN của $P=5xy+8yz+3xz+\frac{5}{x+y+z}$
• Cho $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$. Chứng minh rằng : $x^{2}+y^{2}=1$

[Nguyễn Minh Đức]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
$A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}}\\ =\sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}=\frac{3}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.