Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Bài viết liên quan:

• [BT] Bất đẳng thức
• [ThL] Bất đẳng thức thi HSG
• bất đẳng thức
• TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
• Chứng minh bất đẳng thức

[Nguyễn Minh Đức]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
$A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}}\\ =\sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}=\frac{3}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.