Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[chihao]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Bài viết liên quan:

• Tìm Max
• Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta luôn có : $abc + 2(a^2 + b^2 + c^2) + 8 \geq 5(a + b + c)$
• $\dfrac{3}{2}$ $\ge$ $\sqrt{\dfrac{a}{a+4bc}} +\sqrt{\dfrac{b}{b+9ca}} +\sqrt{\dfrac{c}{c+36ab}}$
• India Regional Mathematical Olympiad 2014
• $P=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x} {y}+\frac{y}{x}$

[Nguyễn Minh Đức]

Bài toán: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{b^2} + 14ab} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {3{b^2} + 8{c^2} + 14bc} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {3{c^2} + 8{a^2} + 14ca} }}$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
$A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}}\\ =\sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}=\frac{3}{5}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.