Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    920


    Bài toán: Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $P = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a(4a + 5b)} + \sqrt {b(4b + 5a)} }}$

  2. Cám ơn nguyentrang9801 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $P = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a(4a + 5b)} + \sqrt {b(4b + 5a)} }}$
    Nhận xét có xự đối xứng giữa hai biến $a$ và $b$ nên điểm rơi sẽ xảy ra tại $a = b$. Trên tử số có xuất hiện $a + b$ nên mục đích ta sẽ đưa mẫu về ẩn $a + b$ một là để xét hàm số hai là triệt tiêu tử số. Với $a = b$ thì $\begin{cases} 9a = 4b + 5a \\ 9b = 4a + 5b \end{cases}$ nên để khử căn thức ta sẽ dùng BĐT AM - GM như sau :
    $$\begin{cases} 9a + 4a + 5b \geq 6\sqrt{a\left ( 4a + 5b \right )} \\ 9b + 4b + 5a \geq 6\sqrt{b(4b + 5a)} \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{a\left ( 4a + 5b \right )} + \sqrt{b(4b + 5a)} \leq 3\left ( a + b \right )$$
    Do đó , chúng ta có : $$P = \frac{a + b}{\sqrt{a(4a + 5b)} + \sqrt{b(4b + 5a)}} \geq \frac{a + b}{3(a + b)} = \frac{1}{3} \rightarrow Min_{P} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = b$$

  4. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    $P = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a(4a + 5b)} + \sqrt {b(4b + 5a)} }}$
    Áp dụng BĐT BCS ta có:
    $$\sqrt {a(4a + 5b)} + \sqrt {b(4b + 5a)}\le \sqrt{(a+b)(4a+5b+4b+5a)}=3(a+b)$$
    Do đó ta suy ra:
    $$P \ge \frac{a+b}{3(a+b)}=\frac{1}{3}$$
    Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$

  6. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này