Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    98



    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]


    Ngày 1:
    Bài 1. Cho $k$ là một đường tròn cố định, $A$ là một điểm cố định nằm ngoài $k$. Gọi $BC$ là đường kính đường tròn $k$. Tìm quỹ tích của trực tâm tam giác $ABC$ khi $BC$ thay đổi.
    Bài 2. Trên bàn cờ $a$ có $ m\times n$ ô $( m\ge 2,n\ge 2 )$ được tô bởi $4$ màu: xanh dương, xanh lam, trắng, đỏ. Ta gọi là ô "màu đẹp" nếu $4$ ô trong hình vuông kích thước $ 2\times 2 $ có đủ $4$ màu khác nhau. Hãy xác định số ô màu đẹp có thể tạo được trên bàn cờ.
    Bài 3. Gán mỗi điểm $X$ trong không gian với số thực. Biết rằng với mọi hình tứ diện $ABCD$ có $O$ là tâm mặt cầu nội tiếp, ta luôn có: $f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D)$. Chứng minh rằng: $ f(X)=1 $ với mọi điểm $X$.
    Ngày 2 :
    Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn : $p^2\mid q^3+1$ và $q^2\mid p^6-1$
    Bài 2. Tìm tất cả hàm số $ f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{R}^+ $ thỏa mãn tính chất:
    \[ f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y))\,,\,\forall x,y\in\mathbb{Q}^+ \]
    Bài 3. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $k$ , Với $AC,BD$ cắt nhau tại $E$ , Các tia $\overrightarrow {CB}, \overrightarrow {DA}$ cắt nhau tại $F.$ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABE,ABF$ và đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $CDE,CDF$ cắt nhau tại 1 điểm trên đường tròn $k$.
    ------Hết------

  2. Cám ơn luffy, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Chính Thức luffy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hạ Long-Quảng Ninh
    Ngày sinh
    03-07-1999
    Bài viết
    24
    Cám ơn (Đã nhận)
    18
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết

    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]


    Ngày 1:
    Bài 1. Cho $k$ là một đường tròn cố định, $A$ là một điểm cố định nằm ngoài $k$. Gọi $BC$ là đường kính đường tròn $k$. Tìm quỹ tích của trực tâm tam giác $ABC$ khi $BC$ thay đổi.
    Bài 2. Trên bàn cờ $a$ có $ m\times n$ ô $( m\ge 2,n\ge 2 )$ được tô bởi $4$ màu: xanh dương, xanh lam, trắng, đỏ. Ta gọi là ô "màu đẹp" nếu $4$ ô trong hình vuông kích thước $ 2\times 2 $ có đủ $4$ màu khác nhau. Hãy xác định số ô màu đẹp có thể tạo được trên bàn cờ.
    Bài 3. Gán mỗi điểm $X$ trong không gian với số thực. Biết rằng với mọi hình tứ diện $ABCD$ có $O$ là tâm mặt cầu nội tiếp, ta luôn có: $f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D)$. Chứng minh rằng: $ f(X)=1 $ với mọi điểm $X$.
    Ngày 2 :
    Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn : $p^2\mid q^3+1$ và $q^2\mid p^6-1$
    Bài 2. Tìm tất cả hàm số $ f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{R}^+ $ thỏa mãn tính chất:
    \[ f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y))\,,\,\forall x,y\in\mathbb{Q}^+ \]
    Bài 3. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $k$ , Với $AC,BD$ cắt nhau tại $E$ , Các tia $\overrightarrow {CB}, \overrightarrow {DA}$ cắt nhau tại $F.$ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABE,ABF$ và đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $CDE,CDF$ cắt nhau tại 1 điểm trên đường tròn $k$.
    ------Hết------
    Có thể chia sẽ quyển tài liệu về mấy đề thi này được không anh.

    Upload sách lên dưới dạng files pdf, cho mọi người tham khảo được không ạ!
    Em xin cảm ơn.
    Thà rằng mình phải nói mà sai, để họ chửi mình ngu. Còn hơn không nói ra, rồi họ cứ tưởng mình là người khôn nhất.
    ___My brother___

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết nightfury's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    98
    Trích dẫn Gửi bởi luffy Xem bài viết
    Có thể chia sẽ quyển tài liệu về mấy đề thi này được không anh.

    Upload sách lên dưới dạng files pdf, cho mọi người tham khảo được không ạ!
    Em xin cảm ơn.
    cái này mình thấy trên mạng chứ không có tài liệu tổng hợp bạn

  6. Cám ơn tinilam, luffy đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    27
    Cám ơn (Đã nhận)
    30
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết

    Ngày 2 :
    Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn : $p^2\mid q^3+1$ và $q^2\mid p^6-1$
    Dễ thấy một trong hai số $p,q$ bằng $2$ ta có điều vô lý. Xét trường hợp cả $p,q$ đều lẻ.
    Ta có: $p^6-1=(p^3+1)(p^3-1)\vdots q^2 \Rightarrow p^3+1\vdots q^2 \vee p^3-1\vdots q^2$
    Trường hợp 1: $p^3+1\vdots q^2$ kết hợp với $q^3+1\vdots p^2$
    Suy ra: $q^3-p^3\vdots p^2-q^2$
    Hay $(q-p)(q^2+qp+p^2)\vdots (p-q)(p+q)\Rightarrow q^2+pq+p^2\vdots p+q$
    Hay $pq\vdots p+q$ vô lý vì $p+q$ chẵn còn $pq$ lẻ.

    Trường hợp 2: $p^3-1\vdots q^2$ kết hợp với $q^3+1\vdots p^2$
    Suy ra: $p^3+q^3\vdots p^2+q^2\Rightarrow pq(p+q)\vdots p^2+q^2$
    Dễ thấy $p^2+q^2$ không có ước là $p$ và $q$ do đó $p+q\vdots p^2+q^2$ điều này vô lý vì $p+q<p^2+q^2$.

    Vậy không tồn tại cặp nguyên tố $p,q$ nào thỏa yêu cầu bài toán.

    PS: không biết có sót trường hợp nào không!

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này