CUỘC THI TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ 2014Đề thi cá nhân - Thời gian làm bài: 90 phút

[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]


Câu 1 (Canada): Tuổi của $Max$ bây giờ nhân với tuổi của $Mini$ sau đây $1$ năm là bình phương của một số nguyên. Tuổi của $Max$ sau đây $1$ năm nhân với tuổi của $Mini$ bây giờ cũng là bình phương của một số nguyên. Nếu bây giờ tuổi của $Mini$ là $8$, còn tuổi của $Max$ lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $100$, hỏi $Max$ bao nhiêu tuổi?

Câu 2 (Uzbekistan): Trong một dàn hợp xướng, nhiều hơn $\frac{2}{5}$ nhưng ít hơn $\frac{1}{2}$ của số trẻ em tham gia là nam. Hỏi số trẻ em tham gia dàn hợp xướng nhỏ nhất là bao nhiêu?

Câu 3 (Singapore): Mỗi cô gái muốn cưỡi riêng một con ngựa, nhưng số ngựa chỉ có đủ cho $\frac{10}{13}$ số cô gái. Nếu tổng số chân của các cô gái và ngựa là $990$, hỏi bao nhiêu cô sẽ phải chờ mới đến lượt cưỡi ngựa?

Câu 4 (Ấn Độ): Phép toán $\frac{23}{30}=\frac{57}{78}$ hiển nhiên là sai. Tuy nhiên nếu ta trừ đi cùng một số nguyên dương từ các số $23,30,57,78$, phép toán trên sẽ trở thành đúng. Hỏi số mà ta cần trừ là số nào?

Câu 5 (Romania): Chọn một đội từ $4$ nữ và $6$ nam. Người ta yêu cầu đội đó phải có ít nhất $2$ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đội?

Câu 6 (Hồng Kông): Tính của $5$ số nguyên dương là $2014$. Hỏi tổng của chúng có thể nhận bao nhiêu giá trị?
Câu 7 (Malaysia): Một con mèo bắt được số chuột đen nhiều gấp $3$ lần số chuột trắng. Mối ngày con mèo ăn thịt $6$ chuột đen và $4$ chuột trắng. Sau một vài ngày, còn lại $60$ chuột đen và $4$ chuột trắng. Hỏi tổng số chuột mà mèo đã bắt được?

Câu 8 (Brunei): Cho $M$ là trung điểm cạnh $CD$ của hình vuông $ABCD$ với cạnh $24cm$. $P$ là một điểm thỏa mãn $PA=PB=PM$. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $PM$ theo $cm$.

Câu 9 (Hồng Kông): Tại một bữa tiệc, cứ hai người thì bắt tay nhau, ngoại trừ Bob, người chỉ bắt tay với một số người khác. Không có $2$ người nào bắt tay nhiều hơn $1$ lần. Cho tổng số bắt tay là $2014$, hỏi Bob bắt tay với bao nhiêu người?

Câu 10 (Trung Quốc): Giá tiền xem vé giao hưởng là $\$26$ đối với người lớn, $\$18$ đối với thanh thiếu nhiên và $\$10$ đối với trẻ em. Tổng số tiền vé cho $131$ người là $\$2014$. Hỏi số trẻ em nhiều hơn số người lớn bao nhiêu?

Câu 11 (Bulgaria): Cho hai hình vuông đè lấp nhau với các cạnh song song sao cho phần chung của hai hình có diện tích $4cm^2$. Phần chung này bằng $\frac{1}{9}$ diện tích hình vuông lớn và bằng $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông nhỏ. Hỏi chu vi nhỏ nhất có thể theo $cm$ của hình $8$ cạnh tạo bởi $2$ hình vuông đè lấp nhau nói trên?

Câu 12 (Trung Quốc): Cho một lượng các ngôi sao trên trời $$8 \times 12+98 \times 102+998 \times 1002+...+99...98 \times 100..02$$
Trong số hạng cuối cùng của tổng, có $2014$ chữ số $9$ nằm trong số $99...98$ và $2014$ chữ số $0$ nằm trong số $100..02$. Hỏi tổng các chữ số của tổng số ngôi sao trên trời là bao nhiêu?

Câu 13 (Malaysia): Cho $\Delta ABC$ với $D$ là điểm thuộc $BC$ còn $F$ là điểm thuộc $AB$. Điểm $K$ đối xứng với điểm $B$ qua $DF$, và $K$ và $B$ nằm khác phía so với $AC$. $AC$ cắt $FK$ tại $P$ và $DK$ tại $Q$. Tổng diện tích của các tam giác $AFP, PKQ, QDC$ là $10cm^2$. Nếu cộng tổng diện tích này với diện tích tứ giác $DFPQ$, ta thu được $\frac{2}{3}$ diện tích $\Delta ABC$. Tính diện tích $\Delta ABC$ theo $cm^2$


[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

Câu 14 (Brunei): Sau khi Nadia lên dốc lên đỉnh, cô đi tiếp một phần đường bằng có chiều dài $2,5km$, rồi đi xuống dốc và đến một cái hồ. Sau đó cô đi chiều ngược lại theo con đường cũ. Vận tốc đi đường bằng của cô là $5km/h$, vận tốc lên dốc là $4km/h$ còn vận tốc xuống dốc là $6km/h$. Chiều đi cô mất $1$ giờ $36$ phút, chiều về cô mất $1$ giờ $39$ phút. Nếu cô đi không nghỉ trong suốt quá trình thì chiều dài từ điểm xuất phát đến cái hồ là bao nhiêu $km$?

Câu 15 (Việt Nam): Tô $6$ mặt của hình lập phương bằng $5$ màu khác nhau. Một màu được dùng để tô cho $2$ mặt còn mỗi màu trong $4$ màu còn lại dùng để tô cho một mặt. Hỏi có bao nhiêu cách tô hình lập phương? Hai hình được coi là giống nhau nếu chúng nhận được từ nhau bằng các phép quay hoặc phép lật.