[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=\left \lfloor \frac{a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor$$
với $a$, $b$, $c$, $d$ là những số nguyên dương.
(Trong đó, ta định nghĩa $\left \lfloor x\right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất, không vượt quá số thực $x$.)


Bài 2. Lấy $k\geq 1$ là một số nguyên cho trước.Ta xét $4k$ đồng xu, với $2k$ trong số đó có màu đỏ và $2k$ còn lại mang màu xanh. Một dãy tạo bởi $4k$ đồng xu trên có thể được biến đổi thành một dãy khác qua một phép "dịch", bằng cách đổi chỗ một (và chỉ một lần) nhóm các đồng màu đỏ kề nhau và một nhóm các đồng màu xanh kề nhau, có cùng số lượng. Ví dụ, ta có thể dịch dãy $r\underline{bb}br\underline{rr}b$ thành dãy $r\underline{rr}br\underline{bb}b$, với $r$ là một đồng màu đỏ và $b$ là một đồng màu xanh ở trong dãy.
Tính giá trị $n$ nhỏ nhất (bằng một hàm số theo $k$) sao cho bắt đầu từ một dãy $4k$ đồng xu bất kì trên, ta cần dịch nhiều nhất $n$ lần để cho $2k$ đồng đầu tiên trong dãy đều mang màu đỏ.

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 2$ thỏa mãn tính chất sau:
Với mỗi cặp $k,l$ là ước số dương bất kì của $n$, có ít nhất một số, $2k-l$ hoặc $2l-k$ cũng là một ước số (không nhất thiết dương) của $n$.[/size]

Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$. Giả sử $P$ là điểm bất kì nằm trong hình vuông sao cho $\angle BAP\ge 60^{\circ}$. Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường thẳng vuông góc với $BP$ tại $P$, còn $R$ là giao điểm của đường thẳng $BQ$ và đường vuông góc với $BP$ dựng từ $C$.
a) Chứng minh rằng $\left| BP\right| \geq \left| BR\right|$.
b) Tại vị trí nào của $P$ thì dấu đẳng thức ở câu (a) xảy ra?


--- Hết ---