India IMO Team Selection Test 2014

Ngày 1: 07/5/2014

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)$ và $f(2^n)$ là các nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên $n$.


Bài 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:
Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\bar{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.


Bài 3. Bắt đầu với bộ ba $(1007\sqrt{2}, 2014\sqrt{2} ,1007\sqrt{14})$, ta định nghĩa dãy các bộ ba $(x_n, y_n, z_n)$ theo công thức:
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n(-x_n+y_n+z_n)}, y_{n+1}=\sqrt{y_n(x_n-y_n+z_n)},z_{n+1}=\sqrt{z_n(x_n+y_n-z_n)}\forall n\ge 0$$
Chứng minh rằng các dãy số $x_n,y_n,z_n$ luôn hội tụ và hãy tìm các điểm hội tụ đó.


Ngày 2: 08/5/2014


Bài 1. Cho $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$, $Q$ là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp vời đường thẳng $AC$, $E$ là trung điểm của $AC$ và $K$ là trực tâm của tam giác $BIC$. Chứng minh rằng đường thẳng $KQ$ vuông góc với đường thẳng $IE$.


Bài 2. Với $j=\bar{1,3}$, ta lấy các số thực khác $0$ $x_j ,y_j$ và lấy $v_j=x_j+y_j$. Giả sử rằng các điều kiện sau đều được thỏa mãn:
$ x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3} ;$
$x_1^2 + x_2^2+ x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2 ;$
$v_1,v_2,v_3$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác và
$v_1^2,v_2^2,v_3^2$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác,
Chứng minh rằng đúng một trong các số $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là số âm.


Bài 3. Cho $r$ là một số nguyên dương, lấy $a_0,a_1,...$ là một dãy vô hạn các số thực. Giả sử rằng với mọi số nguyên không âm $m$ và $s$, tồn tại một số nguyên dương $n\in \left[ m+1,m+s\right]$ sao cho:
$$a_m+a_{m+1}+...+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+...+a_{n+s }$$
Chứng minh rằng dãy trên tuần hoàn (Hay nói cách khác, ta có thể tìm được số $p>0$ nào đó sao cho $a_{n+p}=a_n\forall n\ge 0$)


Ngày 3: 14/5/2014


Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với $AB\neq AC$ và $\angle A\neq 60^{\circ}, 120^{\circ}$. Lấy $D$ là một điểm trên đường thẳng $AC$ khác $C$. giả sử rằng các tâm ngoại tiếp và các trực tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng $\angle ABD=\angle ACB$.


Bài 2. Tồn tại hay không một dãy vô hạn các chữ số khác $0$ (các số có giá trị từ $1$ tới $9$) $a_1, a_2,a_3...$ và một số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên $k> N$, số $ \overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 } $ là một một số chính phương.


Bài 3. Có bao nhiêu cách mà ta có thể xếp các quân xe lên một bàn cờ $8\times 8$ sao cho mỗi cột và mỗi hàng đều có ít nhất $1$ quân xe?


Ngày 4: 15/5/2014


Bài 1. Chứng minh rằng trong bất kỳ một tập hợp gồm $2000$ số thực phân biệt, ta luôn tìm được $2$ cặp số $a>b$ và $c>d$, với $a\neq c$ hay $b\neq d$, sao cho:
$$\left| \frac{a-b}{c-d}-1\right| <\frac{1}{1000}$$.


Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{x+y}=y^{3x}$.


Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $\angle B>\angle C$. Lấy $P$ và $Q$ là 2 điểm phân biệt trên đường thẳng $AC$ sao cho $\angle PBA=\angle QBA=\angle ACB$ và $A$ nằm giữa $P$ và $C$. Giả sử rằng tồn tại một điểm $D$ trên đoạn thẳng $BQ$ sao cho $PD=PB$. Lấy $R$ là một giao điểm khác $A$ của tia $AD$ với đường tròn $(ABC)$. Chứng minh rằng $QB=QR$.

--- Hết ---