Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    97


    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]


    Trại Hè Phương Nam 2014
    Olympic toán học
    Thời gian làm bài : $120$ phút
    Câu 1. Cho bộ gồm $8$ số $D=\begin{Bmatrix}T,R,A,I,H,E,P,N\end{Bmatrix}$ và $T=\begin{Bmatrix}\dfrac{T+R}{2},\dfrac{R+A}{2},\d frac{A+I}{2},\dfrac{I+H}{2},\dfrac{H+E}{2},\dfrac{ E+P}{2},\dfrac{P+N}{2},\dfrac{N+T}{2}\end{Bmatrix} $ là một hoán vị của $D.$ Biết rằng $T+R+A+I+H+E+P+N=2014.$ Hãy xác định các giá trị của $N.$
    Câu 2. Giải phương trình: $$x^2+x-3=\sqrt{3-2x}$$
    Câu 3. Giải hệ phương trình :
    $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{12-2x^2}=4+y\\\sqrt{1-2y-y^2}=5-2x \end{matrix}\right.$$
    Câu 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Phân giác trong của góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $A_1$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $A_2.$ Tương tự ta thu được cái điểm $B_1,B_2,C_1,C_2$ tương ứng. Chứng minh rằng :
    $$\frac{A_1A_2}{BA_2+A_2C}+\frac{B_1B_2}{CB_2+B_2A }+\frac{C_1C_2}{AC_2+C_2B}\geq \frac{3}{4}$$
    Câu 5, Cho số nguyên tố có $4$ chữ số $p=\overline{abcd}.$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên.
    ------------Hết-------------
    Sửa lần cuối bởi nightfury; 02/09/14 lúc 12:41 PM.

  2. Cám ơn khanhsy, tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Lãng Tử Mưa Bụi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Tuổi
    22
    Bài viết
    190
    Cám ơn (Đã nhận)
    163
    Câu 3 $ x^2-x=(3-2x)+\sqrt{3-2x} \Rightarrow $
    Câu 4
    $ \left\{\begin{matrix} -\sqrt{6}\leq x\leqslant\sqrt{6} \\ \sqrt{2}-1\leqslant y\leqslant \sqrt{2}-1 \end{matrix}\right.$

    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{12-2x^2}=4+y\\ \sqrt{1-2y-y^2}=5-2x \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \sqrt{12-2x^2}-3 \right ]^2=(y+1)^2\\ 2-(y+1)^2=(5-2x)^2 \end{matrix}\right. \Rightarrow $

    Thế (y+1)^2 ta đc PT $x^2-10x+22=3\sqrt{12-2x^2} \Leftrightarrow 6(2-x)(2+x)=(2-x)(8-x)(\sqrt{12-x^2}+2) $

    $\Rightarrow x=2 \rightarrow 6(2+x)=(8-x)(\sqrt{12-2x^2}+2) $
    $\Leftrightarrow 8x+x\sqrt{12-2x^2}=4 \leftrightarrow (x-2)\left \lfloor (x-6)^3+18(x-6)-80 \right \rfloor=0 \Leftrightarrow (x-2)fx=0$
    xét fx đặt x-6=t ft đồng biến và $ ft<0 \rightarrow x=2$

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Câu 5:
    Giả sử $P(x)$ khả quy
    Ta có:
    $P(10)=10^{3}a+10^{2}b+10c+d=p$ nguyên tố ( vô lí )
    $\Rightarrow $ điều giả sử sai $\Rightarrow P(x)$ bất khả quy
    Vậy $P(x)$ không phân tích được thành 2 đa thức với hệ số nguyên
    HOA VÔ KHUYẾT

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này