Saudi Arabia IMO Team Selection Test 2014

Ngày 1: 23/5/2014


Bài 1. Tarik và Sultan cùng chơi với nhau một trò chơi như sau: Tarik nghĩ về một số nguyên lớn hơn $100$; và Sultan sẽ phải đoán lần lượt các số lớn hơn $1$. Nếu số Tarik đang nghĩ tới chia hết cho con số mà Sultan đoán, Sultan sẽ thắng; nếu ngược lại, Tarik phải lấy số của mình trừ bớt cho số của Sultan và Sultan tiếp tục đoán. Theo luật, Sultan không được lặp lại con số mà mình đã đoán và cậu ta sẽ thua nếu số của Tarik trở nên nhỏ hơn $0$. Hỏi Sultan có thể có một chiến thuật để thắng không?


Bài 2. Ta định nghĩa một domino là một cặp số nguyên dương khác nhau có sắp xếp (Ví dụ, ta có $(3,5)$ và $(5,3)$ là $2$ domino khác nhau). Một dãy domino được gọi là hoàn chình nếu gồm các domino khác nhau được sắp xếp sao cho số đầu của domino này sẽ bằng với số sau của domino liền trước; và $2$ domino $(i,j)$ và $(j,i)$ không được cùng xuất hiện trong dãy với mọi $i$ và $j$. Cho $D_n$ là tập hợp các domino với các số trong cặp không lớn hơn $n$. Hãy tìm chiều dài xa nhất mà một dãy domino hoàn chỉnh có thể đạt được khi được dựng từ các domino của $D_n$.


Bài 3. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$ trên $BC$. Ta lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên $AB$ và $AC$ sao cho $MN$ không song song với $BC$ và $AMPN$ là một hình bình hành. Đường $MN$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$ tại $2$ điểm $R$ và $S$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $RPS$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$.


Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N} ^*\rightarrow\mathbb{N} ^*$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(n+1)>\frac{f(n)+f(f(n))}{2}\forall n\in \mathbb{N} ^*$$


Ngày 2: 24/5/2014


Bài 1. Cho $\Gamma$ là một đường tròn với tâm $O$ và đường kính $AE$. Lấy điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $OE$ và điểm $B$ là trung điểm của cung tròn $\widehat{AE}$ trên $\Gamma$. Dựng điểm $C$ sao cho $ABCD$ là một hình bình hành. Đường $EB$ và $CD$ giao nhau tại $F$. Đường thẳng $OF$ cắt cung nhỏ $\widehat{EB}$ tại $I$. Chứng minh rằng đường $EI$ chia đôi góc $BEC$.


Bài 2. Cho $S$ là một tập hợp gồm $5$ số thực dương sao cho với $3$ phần tử $a,b,c$ bất kỳ trong $S$, ta có $\left(ab+bc+ca\right)$ là một số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi chọn ra $2$ phần tử $a$ và $b$ bất kỳ trong $S$ thì thương số $\frac{a}{b}$ luôn là số hữu tỉ.


Bài 3. Chứng minh rằng ta luôn có thể lập một bảng $n \times n$ các số không âm (không nhất thiết khác nhau) sao cho tổng các hàng và các cột là các số chính phương khác nhau.


Bài 4. Aws xếp một bộ bài chuẩn $52$ lá lên bàn thành hàng và chơi trò chơi như sau: nếu như $2$ lá kề nhau có cùng màu, thì cậu có thể loại chúng ra ngoài; và Aws sẽ thắng nếu tất cả các lá bài đều được loại bỏ. Nếu bộ bài được xếp ngẫu nhiên, xác suất mà cậu ta có thể thắng là bao nhiêu?
(Đây là một dạng của [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung], trò chơi mà người chơi phải thực hiện thao tác trên cách sắp xếp được cho trước của các lá bài).


Ngày 3: 27/5/2014


Bài 1. Một số hoàn hảo là một số nguyên mà một nửa tổng tất cả các ước số dương bằng với chính số đó. Ví dụ, bởi vì $28 = \frac{1}{2} \left(1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28\right)$, $28$ là một số hoàn hảo.
(a) Tìm tất cả các số nguyên không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố bất kỳ nào mà cũng là một số hoàn hảo.
(b) Chứng minh rằng không thể có số chính phương là một số hoàn hảo.


Bài 2. Xác định tất cả các hàm số $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ sao cho $f(0)=0$ và
$$f(x)=1+5 f \left(\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor \right)-6f\left(\left\lfloor \frac{x}{4}\right \rfloor \right)\forall x>0$$


Bài 3. Ta có $2015$ đồng xu trên bàn. Với $i = 1, 2, \dots , 2015$, lần lượt, ta phải lật ngược đúng $i$ đồng xu. Chứng minh rằng ta luôn có thể làm tất cả các đồng xu cùng xấp hoặc cùng ngửa; nhưng không được có cả hai cùng lúc.


Bài 4. Cho các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ với tâm $O_1$ và $O_2$, giao nhau tai $2$ điểm $A$ và $B$. Lấy $X$ và $Y$ là các điểm trên $\omega_1$. Đường thẳng $XA$ và $YA$ giao $\omega_2$ lần lượt tại $Z$ và $W$ khác $A$ sao cho $A$ nằm giữa $X$ và $Z$ và giữa $Y$ và $W$. Lấy trung điểm $M$ của $O_1 O_2$, trung điểm $S$ của $XA$ và trung điểm $T$ của $WA$. Chứng minh rằng $MS = MT$ khi và chỉ khi $4$ điểm $X,Y,Z,W$ đồng viên.


Ngày 4: 28/5/2014


Bài 1. Cho $a_1,\dots,a_n$ là một dãy không tăng gồm các số thực dương. Chứng minnh rằng:
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\le a_1+\frac{a_2}{\sqrt{2}+1}+\cdots+\frac{a_n}{\sqrt {n}+\sqrt{n-1}}.$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?


Bài 2. Trong một giải đấu, mỗi đấu thủ chơi đúng $1$ trận với mỗi người khác. Trong một trận, người thắng nhận được $1$ điểm, người thua nhận được $0$, và mỗi người sẽ được $\tfrac{1}{2}$ nếu như trận đấu hòa. Sau khi tổng kết giải đấu, người ta thấy rằng đúng một nửa của số điểm mỗi người nhận được đều đến từ các trận người đó chơi với $10$ người thấp điểm nhất. (Với mỗi trong $10$ người đó thì một nửa điểm của người đó đến từ các trận chơi với $9$ người kia). Hỏi đã có tổng cộng bao nhiêu người chơi trong chận đấu đó?


Bài 3. Cho hai viên sỏi $A$ và $B$ trên các mắt của một mạng lưới vuông. Mỗi lượt, ta có thể dời chỗ $1$ trong $2$ viên sỏi sang một mắt khác của lưới sao cho khoảng cách giữa chúng không đổi. Có thể hay không, sau một số lượt nhất định, ta đổi chỗ được $2$ viên sỏi ban đầu?


Bài 4. Cho trước $3$ điểm $A_1, B_1, C_1$ trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác $ABC$, sao cho $AB_1 -AC_1 = CA_1 -CB_1 = BC_1 -BA_1$. Lấy $I_A, I_B, I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $AB_1 C_1, A_1 BC_1$ và $A_1 B_1 C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $I_A I_B I_C$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.

--- Hết ---