Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Cono Sur Olympiad 2014

  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    97




    Cono Sur Olympiad 2014

    Ngày 1: 18/08/2014

    Bài 1. Ta viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.


    Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.


    Bài 2. Một cặp số $(a,b)$ được gọi là charrúa nếu tồn tại một số nguyên dương $c$ sao cho cả hai $a+b+c$ và $a\times b\times c$ đều là các số chính phương; Nếu không có số $c$ thỏa mãn, ta gọi cặp số đó là no-charrúa.


    a) Chứng minh rằng ta có thể có vô số các cặp số no-charrúa.
    b) Chứng minh rằng tồn tại vố số các số $n$ sao cho cặp $(2,n)$ là charrúa.


    Bài 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và một điểm $P$ nằm ngoài sao cho $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ và diện tích của ngũ giác $ABPCD$ bằng với $AB^{2}$.


    Chứng minh rằng $ABPCD$ có thể được chia làm $3$ mảnh bằng các đường cắt thẳng sao cho ta có thể dựng được một hình vuông từ $3$ mảnh đó mà không để lại lỗ trong hình vuông và các miếng đó không được chồng lên nhau.


    (Các mảnh đó có thể được dịch chuyển, quay hay lật ngược lại để tạo thành hình vuông).


    Ngày 2: 19/08/2014


    Bài 4. Hãy chỉ ra rằng $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ không phải là một số nguyên tố, trong đó, $n$ là một số nguyên dương.


    Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$, với điểm đó nằm trong $ABCD$ và $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E$. Ta vẽ các đường thẳng $r$ và $s$ qua $E$ sao cho $r$ vuông góc với $BC$, và $s$ vuông góc với $AD$. Lấy $P$ là giao điểm của $r$ với $AD$, và $M$ là giao điểm của $s$ với $BC$. Cho $N$ là trung điểm của $EO$.


    Chứng minh rằng các điểm $M$, $N$, và $P$ cùng nằm trên một đường thẳng.


    Bài 6. Cho $F$ là một họ các tập con của $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ $(n \geq 2)$. Trong mỗi lần chơi được cho phép, ta chọn hai tập hợp $A$ và $B$ không giao nhau từ $F$, và thêm tập $A \cup B$ vào $F$ (mà không loại $A$ và $B$ ra ngoài).


    Ban đầu, $F$ xuất phát với tất cả các tập con chỉ gồm $1$ phần tử của $S$. Mục đích là tạo nên tất cả các tập con gồm $n - 1$ phần of $S$ trong $F$ bằng các lần chơi trên.


    Tìm số các lần chơi thấp nhất cần thiết để đạt được đích.

    --- Hết ---
    *Charrúa được nhắc đến là tên bộ tộc bản địa của Nam Mỹ.

  2. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết


    Bài 1. Ta viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.


    Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.

    Tổng tất cả các số trên bảng lúc đầu là
    $$ S_0= 1+ 2 + \cdots + 2014 $$
    Ở lần đầu tiên thực hiện phép biến đối như đề bài , xóa hai số $ \displaystyle a \ , \ b $ và thay bằng $ \left(a,b \right) \ , \ \left[ a,b \right] $ , gọi $ \displaystyle S_1 $ là tổng tất cả các số trên bảng sau lần thực hiện phép biến đổi , có
    $$ S_1 - S_0 = \left(a,b \right) + \left[ a,b \right] -a-b $$
    Ta sẽ chứng minh với các số nguyên dương $ \displaystyle a,b $, luôn có
    $$ \left(a,b \right) + \left[ a,b \right] -a-b \ge 0 \quad{(1)} $$
    Thật vậy , đặt $ \displaystyle d= \left( a,b \right) \ , \ v= \left[ a,b \right] $.


    Từ $ \displaystyle d= \left( a,b \right)$, có $ \displaystyle a_1 , b_1 \in \mathbb{N^{*}} \ ; \ \left( a_1 , \ b_1 \right) =1 $ thỏa $ a=a_1 d \ ; \ b= b_1 d $.


    Từ $ \displaystyle dv = ab = a_1 b_1 d^2 $, suy ra
    $$ v= a_1 b_1 d $$
    Ta thấy
    $$\left(a,b \right) + \left[ a,b \right] -a-b = d + a_1 b_1 d -a_1 d - b_1 d = d \left( 1- a_1 \right) \left( 1 - b_1 \right) \ge 0$$
    Vậy $ \displaystyle (1) $ đúng . Vậy $ \displaystyle S_1 \ge S_0 $ .


    Tương tự như vậy , sau mỗi lần thực hiện phép biến đổi đề bài , tổng tất cả các chữ số trên sau khi biến đổi luôn lớn hơn hoặc bằng tổng các chữ số trên bảng trước khi biến đổi .


    Tức là bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn hoặc bằng $ \displaystyle S_0 $.


    Mà theo bất đẳng thức AM-GM có
    $$ S_0 > 2014 \cdot \sqrt[2014]{2014!} \ \left( \text{dấu bằng không xảy ra} \right)$$
    Ta có điều cần chứng minh .

  3. Cám ơn nightfury đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này