Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    198

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi HongAn39 Xem bài viết
    Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:
    $$ \frac{2xy}{(x+z)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+ \frac{3xz}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3} $$
    Ta có
    $$ \frac{2xy}{\left(x+z \right) \left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right) \left(x+z \right)}+ \frac{3xz}{\left(y+z \right) \left(y+x \right)} - \frac{5}{3} \\ =\frac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+4x^2z+4xz^2-10xyz}{3 \left( x+y \right) \left( y+z \right) \left( z+x \right)} $$

    $$ x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+4x^2z+4xz^2-10xyz \\
    =y \left( z-x \right)^2 + z \left( 2x-y \right)^2 + x \left( 2z-y \right)^2 \ge 0$$
    Vậy nên
    $$\frac{2xy}{\left(x+z \right) \left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right) \left(x+z \right)}+ \frac{3xz}{\left(y+z \right) \left(y+x \right)} \ge \frac{5}{3} $$
    Đó là điều phải chứng minh .

  4. Cám ơn caoominhh đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức Mr.Cloud's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    22
    Cám ơn (Đã nhận)
    22
    Bât đẳng thức đã cho tương đương với
    $$\dfrac{2xy(x+y)+2yz(y+z)+3xz(x+z)}{(x+y)(y+z)(z+ x)} \geq \dfrac{5}{3}\\ \iff 2xy(x+y)+2yz(y+z)+3xz(x+z)\ge \dfrac{5}{3}(x+y)(y+z)(z+x) \\ \iff xy(x+y)+yz(y+z)+4xz(z+x) \ge 10xyz \\ \iff \dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{4(x+z)}{y} \ge 10$$
    Đến đây chỉ cần áp dụng AM-GM ta có: $\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x} \ge 4; \ \dfrac{y}{z}+\dfrac{4z}{y} \ge 4 ; \ \ \ \dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z} \ge 2$.
    Cộng 3 BĐT lại ta có đpcm.

  6. Cám ơn caoominhh đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này