Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    18
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi Ntspbc Xem bài viết
    Với $a, b, c$ là các số thực dương, chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a}\geq \sqrt[4]{27(a^4 + b^4 + c^4)}.$$
    Dùng Holder có
    $$ \left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\right)^2 \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right) \ge \left( a^2+b^2+c^2 \right)^3 $$
    Như vậy
    $$ \left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}\right)^4 \ge \frac{\left( a^2+b^2+c^2 \right)^6}{\left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right)^2}$$
    Cần chứng minh
    $$ \left( a^2+b^2+c^2 \right)^6 \ge 27 \left( a^4+b^4+c^4 \right) \left( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right)^2 \quad{(1)}$$
    Đặt
    $$ x=a^4+b^4+c^4 >0 \ ; \ y=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 >0$$
    Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ trở thành
    $$ \left( x+2y \right)^3 \ge 27xy^2 $$
    Điều này đúng bởi
    $$ \left( x+2y \right)^3 - 27xy^2 = \left( x+8y \right) \left( x-y \right)^2 \ge 0$$
    Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ đúng dẫn đến điều cần chứng minh.

  4. Cám ơn tinilam, sonogami1802 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này