Bài HGTP đề tuyển sinh đại học khối B 2014

[hungchng]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$.
Điểm $M(-3;0)$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $H(0;-1)$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AD$ và điểm $G\left(\frac{4}{3};3\right)$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Tìm tọa độ các điểm $B$ và $D$.

Lời giải 1
$I(a; b)$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
$\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{IG} \Rightarrow C\left( 4-2a;9-2b \right)\Rightarrow A\left( 4a-4;4b-9 \right)$,
$\Rightarrow B\left( -2-4a;9-4b \right)\Rightarrow D\left( 2+6a;6b-9 \right)$;
$\overrightarrow{HA}=\left( 4a-4;4b-8 \right)$ cùng phương $\overrightarrow{HD}=\left( 6a+2;6b-8 \right)$
nên $(a-1)(3b-4)=(3a+1)(b-2)\Rightarrow a = 2b -3 \Rightarrow A\left( 8b-16;4b-9 \right)$
mà $MA=MH\iff {{\left( 8b-13 \right)}^{2}}+{{\left( 4b-9 \right)}^{2}}=9+1\iff\left[\begin{array}{l}b=2 \\b=\frac{3}{2} \end{array}\right.$
$\star$ $b=2\Rightarrow a=1 \Rightarrow A(0;-1)\text{ trùng }H$ (loại bỏ)
$\star$ $b=\frac{3}{2}\Rightarrow a=0\Rightarrow A(-4;-3)\Rightarrow B(-2;3),D(2;0)$

Lời giải 2
Gọi $B(a;b)$ vì $M$ là trung điểm $A,B$ nên $A(-6-a;-b)$.
Ta có trọng tâm $G$ của $\triangle BCD$ nằm trên đường chéo $AC$ của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{GC}=\frac12\overrightarrow{AG} \implies C\left(5+\frac{a}{2};\frac92+\frac{b}{2}\right)$
Ta có $\begin{cases}AH\bot HB \\ BC\bot HB\end{cases}\iff\begin{cases}a(6+a)+(b+1)(b-1)=0 \\ a\left(5-\frac{a}{2}\right)+(b+1)\left(\frac92-\frac{b}{2}\right)=0\end{cases}$
$\iff\begin{cases} a^2+b^2+6a-1=0 \\ 2a+b+1=0 \end{cases} \iff\left[\begin{array}{ll}a=0,b=-1&\text{(loại vì}\equiv H) \\a=-2,b=3&\implies B(-2;3)\end{array}\right.$
Nên $A(-4;-3),C(4;6)\implies D(2;0)$

Bài viết liên quan:

• [ThL] Hình học giải tích trong mặt phẳng 5
• Giúp bài hình phẳng khó
• Tìm tọa độ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.
• [Hỏi] Đường trung tuyến và đường phân giác
• Tìm toạ độ các đỉnh

[hungchng]

Lời giải 3

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$ nên $K(-6;1)\in BC$.
Gọi $N$ là trung điểm $CD$ và $P$ là giao điểm của $AN$ và $BC$,
ta có $G$ là trọng tâm của $\triangle ABP$ nên $\overrightarrow{GP}=2\overrightarrow{MG}\implies P(10;9)$
Phương trình đường thẳng $BC$ là $8(x+6)-16(y-1)=0\iff x-2y+8=0 $
Ta có $BH\bot BC $ và $ B\in BC$ nên tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2(x-0)+(y+1)=0 \\ x-2y+8=0\end{cases}$
$\iff\begin{cases} x=-2 \\ y=3 \end{cases}$ $\implies B(-2;3)$. Do đó $A(-4;-3),C(4;6)\implies D(2;0)$