Phương pháp này áp dụng trong các bài toán đặc trưng,mình xin được nêu ra 2 bài và lời giải của nó,tất nhiên các bạn có thể giải được một cách dễ dàng nhờ các phương pháp khác,chẳng hạn như sử dụng Cauchy-Schwarz

Bài 1: [KSTN-1999][Quan hệ độ dài,điểm,mặt phẳng]
Tìm các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a-2b+3c-16=0$
sao cho biểu thức $f=2a^2+2b^2+2c^2-4a-4b-4c+15 $ đạt GTNN
Giải: Biểu thức được viết lại : $\frac{f-9}{2}$=$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2$
Giả sử điểm $N(a,b,c)$ chạy trên mp $(P)$: $a-2b+3c-16=0$ Khi đó MN có độ dài xác định bởi:
$MN^2=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2$ ở đó $M(1,1,1) $ cố định trong không gian
Như vậy $MN^2= \frac{f-9}{2}$
$\min {f}\iff MN_{min}$ tức là N là hình chiếu của M lên mp (P)
Gọi $N(1+t;1-2t;1+3t)$ thuộc đường thẳng MN và thỏa mãn PT (P)
$\implies t=1$
$a=1+t=2$ ;$b=1-2t=-1$ $c=1+3t=4$

Bài 2: [KSTN- 2009][tương giao 2 mặt cầu]
Tìm các số thực $x,y,z,p,q,r$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2-2x-2y-7=0$ và $p^2+q^2+r^2+10p-6q-14r+47=0
$
sao cho $A=x^2+y^2+z^2+p^2+q^2+r^2-2xp-2yq-2rz$
đạt GTNN,GTLN

Giải: Xét 2 mặt cầu$(S_1)$: $(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=9$ tâm $I_1(1,1,0)$ bán kính $r_1=3$
$(S_2)$ $(p+5)^2+(q-3)^2+(r-7)^2=36$ tâm $I_2(-5,3,7)$ bán kính $r_2=6$
Giả sử $M(x,y,z) $ và $N(p,q,r)$ lần lượt chạy trên $(S_1),(S_2)$ khi đó $MN^2=(x-p)^2+(y-q)^2+(z-r)^2=A$
A lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất
Điều này xảy ra khi $MN=r_1+r_2+I_1I_2$ và nhỏ nhất khi $MN=I_1I_2-r_1-r_2$ hay $MNI_1I_2$ thẳng hàng
Từ đây xác định giao điểm đường thẳng $I_1I_2$ và $(S_1)(S_2) $ so sánh đưa ra kết quả

Sau đây các bạn quan tâm có thể góp ý 1 bài có cùng ý tưởng :

Bài 3:
Cho các số thực $x,y,z,p,q,r$ thỏa mãn :
$x+y+z=1$ và $p^2+q^2+r^2-2p-4q-6r+10=0$ tìm GTNN và GTLN của :
$P= \frac{1}{2}(p+q+r)^2-p(q+x)-q(r+y)-r(p+z)-(xy+yz+zx)+1992$