Việc xử lý dãy truy hồi tuyến tính là một kỹ năng cơ bản với các học sinh chuyên Toán, có không là chuyên Toán thì cũng dễ dạy chúng qua cấp số nhân như ví dụ sau ở [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung] . Để làm phong phú thêm kỹ năng, cũng như để các bạn học sinh, sinh viên hay cả các giáo viên thấy ý nghĩa của Toán Cao Cấp nên tôi xin giới thiệu thêm một cách xử lý qua Đại Số Tuyến Tính ở [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung] như sau. Tôi xử lý ngay trên một ví dụ cụ thể, và thiết nghĩ cũng chả cần phải tổng quát làm gì sất. Tôi tin là, bạn nào hiểu thấu đáo ví dụ này thì các trường hợp khác cũng thế thôi

Dãy Fibonacci $1;\,1;\,2;\,3;\,\ldots $, tức là dãy $\{f_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ thỏa $f_1=f_2=1$ và\[f_{n+2}=f_{n+1}+f_n\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Có một cách thức để giải quyết bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonacci như sau.

-----------------------------***-----------------------------


Xét $V$ là tập hợp các dãy số $\{a_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ có công thức truy hồi là\[a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Rõ ràng dãy $0_V\in V$ với $0_V$ là dãy hằng mà tất cả các phần tử của dãy đều bằng $0$. Đồng thời với $\alpha;\,\beta\in\mathbb R$ và\[\begin{array}{l}{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\\{v_{n + 2}} = {v_{n + 1}} + {v_n}\end{array}\]Khi đó đặt $\alpha u_n+\beta v_n=w_n$ ta có\[\begin{array}{l}{w_{n + 2}} &= \alpha {u_{n + 2}} + \beta {v_{n + 2}}\\& = \alpha \left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) + \beta \left( {{v_{n + 1}} + {v_n}} \right)\\& = \left( {\alpha {u_{n + 1}} + \beta {v_{n + 1}}} \right) + \left( {\alpha {u_n} + \beta {v_n}} \right)\\ &= {w_{n + 1}} + {w_n}\end{array}\]Do đó, $V$ cùng với các phép toán cộng dãy số và nhân dãy số với một số thực sẽ là một không gian vector con của không gian các dãy số thực trên $\mathbb R$.

Để ý rằng nếu $\{a_n\}_{n\in\mathbb Z^+}\in V$ thì nó hoàn toàn được xác định bởi $a_1;\,a_2$, thêm nữa hai phần tử của $V$ là $\{a_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\{b_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là các phần tử của $V$ và chúng phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi các vector hình học trong $\mathbb R^2$ là $\vec{u}\left(a_1;\,a_2\right)$ và $\vec{v}\left(b_1;\,b_2\right)$ cùng phương.

Xét hai dãy số $\{v_n\}_{n\in\mathbb Z^+}:\;v_n=p^n\;\forall\;n\in\mathbb Z^+$ và $\{v'_n\}_{n\in\mathbb Z^+}:\;v'_n=q^n\;\forall\;n\in\mathbb Z^+$, ở đây $p>q$ và $p;\,q$ là các nghiệm của phương trình\[x^2=x+1\]Ta thấy $\{v_n\}_{n\in\mathbb Z^+};\;\{v'_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là các phần tử của $V$, do\[\begin{array}{l}{v_{n + 2}} = {p^{n + 2}} = {p^2}.{p^n} = \left( {p + 1} \right){p^n} = {v_{n + 1}} + {v_n}\\v{'_{n + 2}} = {q^{n + 2}} = {q^2}.{q^n} = \left( {q + 1} \right){q^n} = v{'_{n + 1}} + v{'_n}\end{array}\]Thêm nữa, $\vec a \left(v_1;\,v_2\right)=\left(p;\,p^2\right)$ không cùng phương với $\vec b\left(v'_1;\,v'_2\right)=\left(q;\,q^2\right)$. Cho nên, $\{v_n\}_{n\in\mathbb Z^+};\;\{v'_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là hai phần tử của $V$ không phụ thuộc tuyến tính $(*)$.

Nếu $\{a_n\}_{n\in\mathbb Z^+}\ne 0_V$ và $\{b_n\}_{n\in\mathbb Z^+}\ne 0_V$ là các phần tử của $V$ không phụ thuộc tuyến tính xét hệ phương trình\[\begin{cases}{a_1}x + {b_1}y &= {u_1}\\{a_2}x + {b_2}y &= {u_2}\end{cases}\]Có định thức $D=a_1b_2-b_1a_2\ne 0$ nên nó luôn có nghiệm $x=\alpha;\,y=\beta$, điều đó cho thấy với một phần tử bất kỳ của $V$ là $\{u_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ luôn biểu diễn tuyến tính dưới dạng\[u_n={\alpha {a_n} + \beta {b_n}};\;(**)\]
Từ các lý lẽ ở $(*)$ và $(**)$ ta có $dim\,V=2$ và $\{v_n\}_{n\in\mathbb Z^+};\;\{v'_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ chính là các cơ sở của $V$. Do dãy Fibonacci cũng là một phần tử của $V$, cho nên tồn tại $\alpha;\,\beta\in\mathbb R$ sao cho\[{f_n} = \alpha {v_n} + \beta {{v'}_n} = \alpha {p^n} + \beta {q^n}\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Thay $p = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};{\mkern 1mu} q = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$ và kết hợp với $f_1=f_2=1$ sẽ có $\alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }};\;\beta = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ từ đó\[{f_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\;\forall {\mkern 1mu} n \in {\mathbb{Z}^ + }\]
Nhận xét. Với các dãy truy hồi tuyến tính và thuần nhất khác, cũng có lời giải tương tự cho bài toán tìm số hạng tổng quát.