Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau:
    $$\left\{ \begin{array}{l} x^2 = y + 1 \\ y^2 = z + 1 \\ z^2 = x + 1 \\ \end{array} \right.\,$$
    Trước hết , chúng ta có : $\begin{cases} x^2 = y + 1 \geq 0 \\ y^2 = z + 1 \geq 0 \\ z^2 = x + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x,y,z \geq - 1$

    TH1. Với $x \geq 0$, không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z $ , ta có : $$\begin{cases} z^2 = x + 1 \geq 1 \\ y^2 = z + 1 \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y > 0 \\ z > 0 \end{cases}$$
    Do đó : $$x \geq y \geq z > 0 \Leftrightarrow x^2 \geq y^2 \geq z^{2} \Leftrightarrow y + 1 \geq z + 1 \geq x + 1 \Leftrightarrow y \geq z \geq x$$
    Từ đó suy ra : $$\begin{cases} x^2 = y + 1 \\ x \geq y \geq z > 0 \\ y \geq z \geq x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = y = z > 0 \\ x^2 = x + 1\end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
    TH2. Đánh giá tương tự với điều kiện : $- 1 \leq x < 0$ ta được : $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm : $$\left ( x ; y ; z \right ) = \left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ;\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right ) ; \left ( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ;\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right )$$

  4. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    Trước hết , chúng ta có : $\begin{cases} x^2 = y + 1 \geq 0 \\ y^2 = z + 1 \geq 0 \\ z^2 = x + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x,y,z \geq - 1$

    TH1. Với $x \geq 0$, không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z $
    Chưa chính xác
    TH2 cũng cần giải cụ thể.

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau:
    $$\left\{ \begin{array}{l}
    x^2 = y + 1\,\,\,\,\,(1) \\
    y^2 = z + 1\,\,\,\,\,(2) \\
    z^2 = x + 1\,\,\,\,\,(3) \\
    \end{array} \right.$$
    Lời giải 1:
    Từ hệ pt suy ra $x,y,z \ge - 1$
    + Nếu x>0, từ (3) suy ra $z^2 > 1 \Rightarrow z > 1\,\,(do\,\,z \ge - 1)$, vậy z>0 và từ (2) suy ra y>0. Khi đó, không mất tổng quát, ta giả sử $x \ge y \ge z$, Từ(2) và (3) ta được $z \ge x$. Vậy $x = y = z = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
    + Nếu $ - 1 \le x \le 0$ thì từ (1) suy ra $ - 1 \le y \le 0$, từ (2) suy ra $ - 1 \le z \le 0$.
    Không mất tổng quát, ta giả sử $x = \min \left\{ {x,y,z} \right\}$
    Nếu $x \le y \le z$ thì $x^2 \ge y^2 \ge z^2 $ kết hợp hệ pt suy ra $y \ge z \ge x$.
    Vậy y=z, kết hợp hê pt suy ra z=x.
    Nếu $x \le z \le y$, tương tự ta cũng suy ra x=y=z
    Do đó $x = y = z = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$
    - Kết luận, hệ đã cho có 2 nghiệm
    $(x;y;z) = \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right),\,(x;y;z) = \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Super Moderator trantruongsinh_dienbien's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    37
    Bài viết
    113
    Cám ơn (Đã nhận)
    141
    Trích dẫn Gửi bởi trantruongsinh_dienbien Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau:
    $$\left\{ \begin{array}{l} x^2 = y + 1\,\,\,\,(1) \\
    y^2 = z + 1\,\,\,\,(2) \\
    z^2 = x + 1\,\,\,\,(3) \\
    \end{array} \right.$$
    Lời giải 2:
    Từ hệ pt suy ra x,y,z>-1
    1) Trường hợp 1: nếu x>y thì từ hệ pt suy ra $z^2 > x^2 $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z > x\,\,\,\,\,\,\,(a) \\
    z < - x\,\,\,(b) \\
    \end{array} \right.$
    *) Theo (a) ta có z>x>y
    Do z>x nên từ hệ pt suy ra $y^2 > z^2 $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y > z\,\,\,\,\,\,\,(i) \\
    y < - z\,\,\,(ii) \\
    \end{array} \right.$
    +) Theo (i) ta có z>x>y>z (mâu thuẫn)
    +) Theo (ii) ta có y<x<z và y<-z suy ra y<0
    Hệ đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    (x - y)(x + y) = y - z \\
    (y - z)(y + z) = z - x \\
    (z - x)(z + x) = x - y \\
    \end{array} \right.\,\,(*)$
    Từ đó: x+y<0, y+z<0, (x+y)(y+z)(z+x)=1 $ \Rightarrow $ z+x>0 $ \Rightarrow $ z>-x mà z>x $ \Rightarrow $ z>0
    $ \Rightarrow $ $y^2 > 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y > 1 > 0 \\
    y < - 1 \\
    \end{array} \right.$ (mâu thuẫn)
    *) Theo (b) ta có x>y, z+x<0 nên từ hệ pt (*) suy ra z-x<0 $ \Rightarrow $ z<x mà z<-x $ \Rightarrow $ z<0.
    Từ z+x<0 và (x+y)(y+z)(z+x)=1 $ \Rightarrow $ $\left[ \begin{array}{l}
    x + y < 0 < y + z\,\,\,\,(m) \\
    x + y > 0 > y + z\,\,\,\,(n) \\
    \end{array} \right.$

    -Nếu x+y<0 thì từ hệ pt (*) $ \Rightarrow $ y-z<0 $ \Rightarrow $ y<z $ \Rightarrow $ y<0 $ \Rightarrow $ y+z<0 (mâu thuẫn)
    - Nếu x+y>0 thì x>-y mà x>y $ \Rightarrow $ x>0 nên từ hệ pt $ \Rightarrow $ $z^2 > 1$ $ \Rightarrow $ $\left[ \begin{array}{l} z > 1 > 0 \\
    z < - 1 \\
    \end{array} \right.$ (mâu thuẫn)
    2) Trường hợp 2: Nếu x<y, tương tự dẫn đến mâu thuẫn
    3) Trường hợp 3: Nếu x=y hệ pt trở thành: \[
    \left\{ \begin{array}{l}
    x = y,\,\,x^2 = x + 1 \\
    x^2 = z + 1 \\
    z^2 = x + 1 \\
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x = y = z \\
    x^2 = x + 1 \\
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}
    \]
    - Kết luận, hệ đã cho có 2 nghiệm
    $(x;y;z) = \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right),\,(x;y;z) = \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$

  10. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này