Giải phương trình sau

[cuong18041998]

Giải PT sau:

$\sqrt{(x - 3)^5} + 2\left ( \sqrt{(x -2)^3} - 1 \right ) = x(3 - x^6) + 2178$

Đề em tự chế! Mọi người cùng thảo luận ạ!

Bài viết liên quan:

• Tìm m đề phương trình sau có nghiệm: $x.\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m\left ( \sqrt{5-x}+\sqrt{4-x} \right )$
• [BT] $x^3-3x+1=\sqrt{8-3x^2}$.
• [BT] Phương trình
• Giải phương trình sau:
• Giải hệ phương trình

[Nguyễn Văn Quốc Tuấn]

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge 3$

Ta có:\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^3}} \ge 1 \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge 0}\\
{\sqrt {{{(x - 3)}^5}} \ge 0}
\end{array}} \right.\\
\Rightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^5}} + 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge 0
\end{array}\]



Xét hàm số $f\left( x \right) = x(3 - {x^6}) + 2178$ với $x \ge 3$
Ta có $f'\left( x \right) = - 7{x^6} + 3 < 0$
Do đó: \[f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 0 \Rightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^5}} + 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge x(3 - {x^6}) + 2178\]
Dấu bằng xảy ra khi $x=3$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=3$

[cuong18041998]

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge 3$

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^3}} \ge 1 \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge 0}\\
{\sqrt {{{(x - 3)}^5}} \ge 0}
\end{array} \Rightarrow } \right.\sqrt {{{(x - 3)}^5}} + 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge 0\]

Xét hàm số $f\left( x \right) = x(3 - {x^6}) + 2178$ với $x \ge 3$
Ta có $f'\left( x \right) = - 7{x^6} + 3 < 0$
Do đó: \[f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 0 \Rightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^5}} + 2\left( {\sqrt {{{(x - 2)}^3}} - 1} \right) \ge x(3 - {x^6}) + 2178\]
Dấu bằng xảy ra khi $x=3$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$x=3$

Anh lại hàm số vs đạo hàm rồi!

[Trần Duy Tân]

Anh lại hàm số vs đạo hàm rồi!

Cậu hỉ cách của cậu đi ... bài này nếu check wofram thì thấy nó nghich biến nên hàm là đúng rồi hehe

[cuong18041998]

Cậu hỉ cách của cậu đi ... bài này nếu check wofram thì thấy nó nghich biến nên hàm là đúng rồi hehe

ĐK: $x \geq 3$

Đưa PT về:
$x^7 + \sqrt{(x - 3)^5} + 2\sqrt{(x - 2)^3} = 3x + 2180$

Với $x \geq 3$:

$x^7\geq 2187$

$\sqrt{(x -3)^5} \geq 0$

Và theo BĐT Bernoulli:
$\sqrt{(x - 2)^3} = \left [ 1 +(x - 3) \right ]^\frac{3}{2} \geq 1 + \frac{3}{2}(x - 3)$
$\Leftrightarrow (x - 3)^2(4x - 9)\geq 0$ (đúng với $x \geq 3$)
Từ đây suy ra: $VT_{PT} \geq 2187 + 0 + 1 + 2.\frac{3}{2}(x - 3) = 3x + 2180 =VT$

Dấu $=$ xảy ra khi $x = 3$

Ý tưởng là vậy đó!