Giải phương trình `$$x = \sqrt {2 - x} .\sqrt {3 - x} + \sqrt {3 - x} .\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - x} .\sqrt {2 - x} $$`

[trantruongsinh_dienbien]

Giải phương trình: $$x = \sqrt {2 - x} .\sqrt {3 - x} + \sqrt {3 - x} .\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - x} .\sqrt {2 - x} $$

Bài viết liên quan:

• [BT] $\sqrt{x^3-x}=x^3-x^2$
• HÌNH PHẲNG HAY
• Giải pt $\sqrt{2x-1} + 4\sqrt{x+2}+2x-7=2\sqrt{2x^2+3x-2}$
• Giải phương trình: $3\sqrt {{x^2} + x - 2} + 7\sqrt {x + 2} = 9\sqrt {x - 1} + 11$
• [BT] Phương trình $$14x^2-10x+2= (4x-1).\sqrt[3]{2(2x-1).(3x-1)^2}$$

[Nguyễn Văn Quốc Tuấn]

Điều kiện: $x\leq 2$
Biến đổi phương trình trở thành:
\[\sqrt {3 - x} \left( {\sqrt {2 - x} + \sqrt {4 - x} } \right) + \sqrt {4 - x} .\sqrt {2 - x} - x = 0\]

Đặt: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {2 - x} = a}\\
{\sqrt {4 - x} = b}
\end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \left( {3 - x} \right)}\\
{\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} - 3 = - x + \sqrt {4 - x} .\sqrt {2 - x} }
\end{array}} \right.}&{\left( {a < b} \right)}
\end{array}} \right.\]

Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình sau:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \left( {a + b} \right) + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} = 3}\\
{{a^2} - {b^2} = - 2}
\end{array}} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{ - 3}}{2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \left( {a + b} \right) + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} + \frac{{a + b}}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b = 0}\\
{\frac{{ - 3}}{2}\left( {a - b} \right) = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} + \frac{{a + b}}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 2a + b = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b \ge 2a}\\
{4{a^2} - 4ab + {b^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b \ge 2a}\\
{7{a^2} - 8ab + {b^2} = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b \ge 2a}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = b}\\
{7a = b}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Rightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {4 - x} \ge 2\sqrt {2 - x} }\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {4 - x} = \sqrt {2 - x} }\\
{7\sqrt {2 - x} = \sqrt {4 - x} }
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {4 - x} \ge 2\sqrt {2 - x} }\\
{49\left( {2 - x} \right) = 4 - x}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{47}}{{24}}
\end{array}\]

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{47}}{{24}}$

[Popeye]

Giải phương trình: $$x = \sqrt {2 - x} .\sqrt {3 - x} + \sqrt {3 - x} .\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - x} .\sqrt {2 - x} $$

Đặt $\sqrt{2-x}=a, \sqrt{3-x}=b, \sqrt{4-x}=c$ ta có hệ sau
$$\begin{cases}a^2+ab+ac+bc=2-x+x=2\\b^2+ab+ac+bc=3-x+x=3\\c^2+ab+ac+bc=4-x+x=4\end{cases}\iff \begin{cases}(a+b)(a+c)=2\\(b+a)(b+c)=3\\(c+a)(c+b )=4\end{cases}$$

[Lãng Tử Mưa Bụi]

$a=a=\sqrt{2-x};b=\sqrt{3-x};c=\sqrt{4-x}$
Pt gốc $(a+b)(a+c)=2 (*) $

$a^2-b^2=-1\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=-1(**) $

Lây pt(*) chia pt (**) Ta được $\frac{*}{**}=\frac{a+c}{a-b}=-2 $

$\Leftrightarrow b=3a$