Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 9 của 9
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89


    Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng $$\sqrt{2(a^2+1)}+\sqrt{2(b^2+1)}+\sqrt{2(c^2+1)} \le 1+\dfrac{5}{3}(a+b+c)$$

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng $$\sqrt{2(a^2+1)}+\sqrt{2(b^2+1)}+\sqrt{2(c^2+1)} \le 1+\dfrac{5}{3}(a+b+c)$$
    Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có: \[\sqrt{2(a^2+1)} \leq \frac{a^2+1}{a+1} + \frac{a+1}{2} = \frac{3(a+1)}{2} - \frac{2a}{a+1}\]Tương tự suy ra:
    \[\sqrt{2(a^2+1)}+\sqrt{2(b^2+1)}+\sqrt{2(c^2+1)} \leq \frac{3(a+b+c)}{2}+\frac{9}{2} - 2.\left ( \sum \frac{a}{a+1} \right )\]
    Do đó ta cần chứng minh:
    \[2.\left (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \right ) + \frac{a+b+c}{6} \geq \frac{7}{2}\]
    Mặt khác ta có:
    $\frac{2a}{a+1}+\frac{a}{6} \geq \frac{2\mathbf{ln}a}{3}+\frac{7}{6}$
    Suy ra: \[2.\left (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \right ) + \frac{a+b+c}{6} \geq \frac{2\mathbf{ln}a}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}b}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}c}{3} + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}\]
    Điều phải chứng minh !

  4. Cám ơn Trần Duy Tân,  $T_G$, trantruongsinh_dienbien, khanhsy, tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi HongAn39 Xem bài viết
    Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có: \[\sqrt{2(a^2+1)} \leq \frac{a^2+1}{a+1} + \frac{a+1}{2} = \frac{3(a+1)}{2} - \frac{2a}{a+1}\]Tương tự suy ra:
    \[\sqrt{2(a^2+1)}+\sqrt{2(b^2+1)}+\sqrt{2(c^2+1)} \leq \frac{3(a+b+c)}{2}+\frac{9}{2} - 2.\left ( \sum \frac{a}{a+1} \right )\]
    Do đó ta cần chứng minh:
    \[2.\left (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \right ) + \frac{a+b+c}{6} \geq \frac{7}{2}\]
    Mặt khác ta có:
    $\frac{2a}{a+1}+\frac{a}{6} \geq \frac{2\mathbf{ln}a}{3}+\frac{7}{6}$
    Suy ra: \[2.\left (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \right ) + \frac{a+b+c}{6} \geq \frac{2\mathbf{ln}a}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}b}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}c}{3} + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}\]
    Điều phải chứng minh !
    Bất đẳng thức ở chỗ màu đỏ đó ? bạn có thể tổng quát hóa lên không?
    Có bạn nào chứng minh bất đẳng thức bằng CauChy- Schwarz không?

  6. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    18
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147
    [/CENTER]
    Suy ra: \[2.\left (\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \right ) + \frac{a+b+c}{6} \geq \frac{2\mathbf{ln}a}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}b}{3}+\frac{2 \mathbf{ln}c}{3} + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}\]
    Điều phải chứng minh ![/QUOTE] [/spoiler]
    Đoạn màu xanh ta có thể đi:
    $\sum \dfrac{a}{a+1}=\dfrac{3+2\sum ab+\sum a}{2+\sum a+\sum ab}=1+\dfrac{1+\sum ab}{2+\sum a+\sum ab}\geq 1+\dfrac{1+3}{2+\sum a+3}$
    Lúc này đặt $t=\sum a\geq 3$
    Ta cần chứng minh: $2(1+\dfrac{4}{5+t})+\dfrac{t}{6}\geq \dfrac{7}{2}$
    Hay $\dfrac{(t-3)(t-1)}{6(t+5)}\geq 0$
    Luôn đúng.
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 01/09/14 lúc 12:24 PM.

  8. Cám ơn  $T_G$,  Mr_Trang, tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi Ntspbc Xem bài viết
    [spoiler="..."] [/spoiler]

    Đoạn màu xanh ta có thể đi:
    $\sum \dfrac{a}{a+1}=\dfrac{3+2\sum ab+\sum a}{2+\sum a+\sum ab}=1+\dfrac{1+\sum ab}{2+\sum a+\sum ab}\geq 1+\dfrac{1+3}{2+\sum a+3} $

    Lúc này đặt $t=\sum a\geq 3$

    Ta cần chứng minh: $2(1+\dfrac{4}{5+t})+\dfrac{t}{6}\geq \dfrac{7}{2}$
    Hay $\dfrac{(t-3)(t-1)}{6(t+5)}\geq 0$
    Luôn đúng.
    Chỗ này có nhầm hay sao Ntspbc?

  10. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    18
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Chỗ này có nhầm hay sao Ntspbc?
    Nó tương đương với $\dfrac{(\sum ab-3)(\sum a--1)}{(2--\sum ab--\sum a)(5--\sum ab)}$ thưa anh.Ps: đt em 0 viết được dấu cộng.

  12. Cám ơn tinilam,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng $$\sqrt{2(a^2+1)}+\sqrt{2(b^2+1)}+\sqrt{2(c^2+1)} \le 1+\dfrac{5}{3}(a+b+c)$$
    Một nhát cho $\sqrt{2x^2+2}\le - \dfrac{2}{3} \ln x+ \dfrac{1+5x}{3}$ với $x>0$.

  14. Cám ơn tinilam,  $T_G$, trantruongsinh_dienbien đã cám ơn bài viết này
  15. #8
    Thành viên VIP $T_G$'s Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89
    Trích dẫn Gửi bởi MANLONELY Xem bài viết
    Một nhát cho $\sqrt{2x^2+2}\le - \dfrac{2}{3} \ln x+ \dfrac{1+5x}{3}$ với $x>0$.
    Ý tưởng của Thầy Mẫn hay quá! làm thế nào vậy Thầy! đây không phải là phương pháp tiếp tuyên. Thầy có thể phân tích ý tưởng để đưa ra bất đẳng thức đó được không?

  16. #9
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Ý tưởng của Thầy Mẫn hay quá! làm thế nào vậy Thầy! đây không phải là phương pháp tiếp tuyên. Thầy có thể phân tích ý tưởng để đưa ra bất đẳng thức đó được không?
    Trong tài liệu phương pháp $U.C.T$ có mà anh!

  17. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này