Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Đại học Y Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    97
    Cám ơn (Đã nhận)
    141


    Giải hệ phương trình sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6\sqrt {xy} - y = 6}\\
    {x + \frac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = 2}
    \end{array}} \right.\]

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành viên VIP Mr_Trang's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    24
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36
    Trích dẫn Gửi bởi Nguyễn Văn Quốc Tuấn Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6\sqrt {xy} - y = 6}\\
    {x + \frac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = 2}
    \end{array}} \right.\]
    Trích dẫn Gửi bởi Mr_Trang Xem bài viết
    Điều kiện: $xy\ge 0$

    Xét phương trình 1 ta có: $x+6\sqrt{xy}-y=6\le x+3(x+y)-y=4x+2y\Leftrightarrow 2x+y \ge 3 (1)$

    Xét phương trình thứ 2:

    Ta luôn có: $ x^2+xy+y^2\le \frac{3(x^2+y^2)}{2}\rightarrow \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\ge \frac{2(x^3+y^3)}{3(x^2+y^2)}$

    Nhận xét: $\frac{2(x^3+y^3)}{x^2+y^2}\ge \sqrt{2(x^2+y^2)}\Leftrightarrow (x-y)^2(x^4+y^4+2xy^3+2x^3y)\ge 0 $

    Suy ra: $VT_{pt(2)}=3\ge x +\sqrt{2(x^2+y^2)}\ge x+x+y=2x+y (2)$

    Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $2x+y=3\Leftrightarrow x=y=1$

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(1;1)$
    Note: Trước khi post bài nên để ý các Topic cũ một chút!
    Bởi vì phải tiếp tục sống, cho nên phải nỗ lực, giá trị cuộc sống cũng chỉ là một cái chớp mắt lúc bình minh mà thôi!

  4. Cám ơn cuong18041998, caoominhh, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    618
    Trích dẫn Gửi bởi Nguyễn Văn Quốc Tuấn Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6\sqrt {xy} - y = 6}\\
    {x + \frac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = 2}
    \end{array}} \right.\]
    Từ pt (2) thấy $ x,y>0 $. Luôn có\[ \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac13\iff (x-y)^2\ge0. \]
    Do đó
    \[
    VT(2)=x+\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\\
    \ge x+2(x+y)-\sqrt{2(x^2+y^2)}.
    \]
    Kết hợp pt (1), ta sẽ cm


    \[ 3\left [ x+2(x+y)-\sqrt{2(x^2+y^2)}\right ]> x-y+6\sqrt{xy}\\
    \iff 8x+7y-6\sqrt{xy}>3\sqrt{2(x^2+y^2)}\\
    \iff (8t^2-6t+7)^2> 18(t^4+1) \quad (t=\sqrt{\frac xy}) \]




    Bđt cuối cùng luôn đúng. Hệ vô nghiệm.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi Nguyễn Văn Quốc Tuấn Xem bài viết
    Giải hệ phương trình sau: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 6\sqrt {xy} - y = 6}\\
    {x + \frac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = 2}
    \end{array}} \right.\]
    Từ pt (2) thấy $ x,y>0 $. Luôn có\[ \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac13\iff (x-y)^2\ge0. \]
    Do đó
    \[
    VT(2)=x+\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\\
    \ge x+2(x+y)-\sqrt{2(x^2+y^2)}.
    \]
    Kết hợp pt (1), ta sẽ cm


    \[ 3\left [ x+2(x+y)-\sqrt{2(x^2+y^2)}\right ]> x-y+6\sqrt{xy}\\
    \iff 8x+7y-6\sqrt{xy}>3\sqrt{2(x^2+y^2)}\\
    \iff (8t^2-6t+7)^2> 18(t^4+1) \quad (t=\sqrt{\frac xy}) \]




    Bđt cuối cùng luôn đúng. Hệ vô nghiệm.

  6. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    618
    Trích dẫn Gửi bởi Mr_Trang Xem bài viết
    Note: Trước khi post bài nên để ý các Topic cũ một chút!
    $(1,1)$ có thỏa hệ đâu Mr Trang.

  8. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành viên VIP Mr_Trang's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    24
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    $(1,1)$ có thỏa hệ đâu Mr Trang.

    Đề này post sai . Vế phải phương trình thứ 2 bằng 3. Nếu bằng 2 thì vô nghiệm như bạn .

    Bài này trong Topic "thảo luận các HPT" gì đó :3 .
    Bởi vì phải tiếp tục sống, cho nên phải nỗ lực, giá trị cuộc sống cũng chỉ là một cái chớp mắt lúc bình minh mà thôi!

  10. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này