Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 10 của 10
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    12
    Cám ơn (Đã nhận)
    5

  2. #2
    Thành viên VIP Mr_Trang's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    24
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36
    Trích dẫn Gửi bởi Cốc Cốc Xem bài viết
    Cho $x,y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. CMR:


    $(x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) \leq \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)}$

    Mong mn giải cách dễ hiểu, xúc tích giúp em. Em cảm ơn ạ!
    Kết hợp với điều kiện. Ta có:

    $x^2+1=\frac{x^2.(x+y+z)}{xyz}+1=\frac{(x+y)(x+z)} {yz}$

    Suy ra $\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x )}{xyz}$

    Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c} \Rightarrow ab+bc+ca=1$

    BĐT ban đầu tương đương: $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\le abc(a+b)(b+c)(c+a)$

    Thay $ab+bc+ca=1$ vào VT ta được: $VT=[a(b+c-a)+bc][b(c+a-b)+ac][c(a+b-c)+ab]$

    Đặt: $b+c-a=u; c+a-b=v; a+b-c=w$ ta có:

    $VT=abcuvw+(a^2b^2uv+b^2c^2vw+c^2a^2wu)+(a^3bcu+b^ 3acv+c^3abw)+a^2b^2c^2$

    $=abc(uvw+abc+\frac{ab}{c}uv+\frac{bc}{a}vw+\frac{ ca}{b}uw+a^2u+b^2v+c^2w)$

    Mặt khác ta có:

    +$(b+c-a)(c+a-b)\le c^2\Rightarrow uv\le c^2; vw\le a^2; uw\le b^2$

    +$ a^2u+b^2v+c^2w=\sum_{sym}a^2b -(a^3+b^3+c^3)\le \sum_{sym}a^2b-3abc$

    Suy ra $VT\le abc(2abc+\sum_{sym}a^2b)=abc(a+b)(b+c)(c+a)=VP$

    Phép chứng minh hoàn tất.

    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$

    P/s: Từ điều kiện bài này, nên em có thể sử dụng PP lượng giác để đánh giá cũng được

    (chú ý: $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B.\tan C$)
    Bởi vì phải tiếp tục sống, cho nên phải nỗ lực, giá trị cuộc sống cũng chỉ là một cái chớp mắt lúc bình minh mà thôi!

  3. Cám ơn Cốc Cốc, trantruongsinh_dienbien đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Chính Thức Cốc Cốc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    12
    Cám ơn (Đã nhận)
    5
    Haizz...đọc lời giải xong như chưa đọc.
    Đối với 1 người bắt đầu học bất đẳng thức, ý em là tự học bất đẳng thức từ cái sơ cấp nhất lên đến nâng cao thì cần học ở chỗ nào, tài liệu nào, học kiểu gì nữa ạ, vậy anh Trang?

  5. #4
    Thành viên VIP Mr_Trang's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    24
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36
    Trích dẫn Gửi bởi Cốc Cốc Xem bài viết
    Haizz...đọc lời giải xong như chưa đọc.
    Đối với 1 người bắt đầu học bất đẳng thức, ý em là tự học bất đẳng thức từ cái sơ cấp nhất lên đến nâng cao thì cần học ở chỗ nào, tài liệu nào, học kiểu gì nữa ạ, vậy anh Trang?
    Em thấy lời giải trên khó hiểu chỗ nào thì anh sẽ chỉ lại cho em hiểu?

    Muốn học tốt BĐT, em cần học tốt kĩ năng phân tích đại số. Đây là kĩ năng giúp ích rất nhiều không chỉ với BĐT, mà ngay cả những bài toán phương trình, bất PT hay hệ PT cũng đòi hỏi rất nhiều. Khoản này ở lớp 8 và lớp 9 được giảng dạy khá chi tiết :3
    Bởi vì phải tiếp tục sống, cho nên phải nỗ lực, giá trị cuộc sống cũng chỉ là một cái chớp mắt lúc bình minh mà thôi!

  6. Cám ơn Cốc Cốc, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  7. #5
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi Cốc Cốc Xem bài viết
    Cho $x,y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. CMR:


    $(x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) \leq \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)}$

    Mong mn giải cách dễ hiểu, xúc tích giúp em. Em cảm ơn ạ!
    Tôi sẽ trình bày cách khác. Hi vọng giúp bạn dễ hiểu hơn.
    Trước hết đặt $a = \frac{1}{x} ; b = \frac{1}{y} ; c = \frac{1}{z}$ khi đó giả thiết trở thành : $ab + bc + ca = 1$. Và bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
    $$\left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right ) \leq abc\sqrt{\left ( 1 + a^2 \right )\left ( 1 + b^2 \right )\left ( 1 + c^2 \right )}$$
    Mặt khác : $$a^2 + 1 = a^2 + ab + bc + ca = \left ( a + b \right )(a + c)$$
    $$b^2 + 1 = b^2 + ab + bc + ca = \left ( a + b \right )(b + c)$$
    $$c^2 + 1 = c^2 + ab + bc + ca = \left ( c + b \right )(a + c)$$
    Bất đẳng thức trở thành : $$\begin{matrix} \left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right )(1 - c^2) \leq abc\left ( a + b \right )\left ( b + c \right )\left ( c + a \right ) & \\ \Leftrightarrow \left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right )(1 - c^2) \leq \left ( ac + bc \right )\left ( ab + ac \right )\left ( bc + aa \right ) & \\ \Leftrightarrow \left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right )(1 - c^2) \leq \left ( 1 - ab \right )\left ( 1 - bc \right )\left ( 1 - ac \right ) \end{matrix}$$
    Ta lại có : $$\left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right ) \leq \left ( 1 - ab \right )^2 \Leftrightarrow 2ab \leq a^2 + b^2 \Leftrightarrow \left ( a - b \right )^2 \geq 0$$
    Điều trên luôn đúng do đó BĐT được chứng minh.

  8. Cám ơn Trần Duy Tân, Cốc Cốc đã cám ơn bài viết này
  9. #6
    Ban quản trị phamtuankhai's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    35
    Cám ơn (Đã nhận)
    60
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    $ \Leftrightarrow \left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right )(1 - c^2) \leq \left ( 1 - ab \right )\left ( 1 - bc \right )\left ( 1 - ac \right ) $
    Ta lại có : $$\left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right ) \leq \left ( 1 - ab \right )^2 \Leftrightarrow 2ab \leq a^2 + b^2 \Leftrightarrow \left ( a - b \right )^2 \geq 0$$
    Điều trên luôn đúng do đó BĐT được chứng minh.
    Đoạn này của em bị lỗi.

  10. Cám ơn Cốc Cốc đã cám ơn bài viết này
  11. #7
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    270
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Trích dẫn Gửi bởi Cốc Cốc Xem bài viết
    Cho $x,y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. CMR:
    $(x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) \leq \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)}$
    Mong mn giải cách dễ hiểu, xúc tích giúp em. Em cảm ơn ạ!
    Từ điều kiện, ta có $x=-\dfrac{y+z}{1-yz}$
    Đặt $y=\tan{a}, z=\tan{b}$ với $a,b\in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$. Do đó $x=-\tan(a+b)$
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
    $$\begin{array}{ll}
    &(\tan^2(a+b)-1)(\tan^2a-1)(\tan^2b-1)\le \dfrac{1}{\cos(a+b)\cos{a}\cos{b}}\\
    \Leftrightarrow & \cos\left( 2(a+b) \right) \cos(2a) \cos(2b) \ge \cos(a+b) \cos{a} \cos{b}\end{array}$$

  12. Cám ơn Cốc Cốc đã cám ơn bài viết này
  13. #8
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi Cốc Cốc Xem bài viết
    Cho $x,y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. CMR:


    $(x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) \leq \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)}$

    Mong mn giải cách dễ hiểu, xúc tích giúp em. Em cảm ơn ạ!
    P/S: Nếu em mới học BĐT thì nên tập quen dần với các biến đổi đại số và đọc các phương pháp giải sẵn có trong các tài liệu để có thêm kinh nghiệm.
    Hướng dẫn:
    Trước hết em cần chú ý $1= \dfrac{xyz}{x+y+z}$ có bậc $2$ nên ta sẽ thực hiện thuần nhất hóa hai vế BĐT đã cho như sau:
    $\bullet\ (x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) = \dfrac{(x^2+xy+xz-yz)(y^2+xy+yz-xz)(z^2+xz+yz-xy)}{(x+y+z)^2}= \dfrac{(x^2+xy+xz-yz)(y^2+xy+yz-xz)(z^2+xz+yz-xy)}{(xyz)^2}$;
    $\bullet\ \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)} = \dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}= \dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$.
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$(x^2+xy+xz-yz)(y^2+xy+yz-xz)(z^2+xz+yz-xy)\le xyz(x+y)(y+z)(z+x)\ (1)$$
    Phương pháp giải các bất đẳng thức dạng này em tham khảo tài liệu này [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
    Cụ thể, em chú ý phân tích $$(x^2+xy+xz-yz)(y^2+xy+yz-xz)=xy(x+y)^2-z(x+y+z)(x-y)^2\le xy(x+y)^2$$
    Thiết lập các đánh giá tương tự ta sẽ có ngay $(1)$.
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 31/08/14 lúc 06:04 PM.

  14. Cám ơn Cốc Cốc,  cokeu14, caoominhh đã cám ơn bài viết này
  15. #9
    Thành Viên Chính Thức Cốc Cốc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    12
    Cám ơn (Đã nhận)
    5
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    Ta lại có : $$\left ( 1 - a^2 \right )\left ( 1 - b^2 \right ) \leq \left ( 1 - ab \right )^2
    Em chưa biết vì sao lại có điều này ạ?

  16. #10
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Dec 2015
    Tuổi
    25
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    EM NHÂN TUNG VẾ TRÁI VÀ BÌNH PHƯƠNG VẾ PHẢI RỒI RÚT GỌN LÀ RA!

    Và em nên học lại từ đầu với những Cô-si và Bunhia 2 số

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này